Вычисление производных

Функция

diff( a, x1, x2,..., xn ) или Diff( a, x1, x2,..., xn )

diff( a, [ x1, x2,..., xn ]) или Diff( a, [ x1, x2,..., xn ])

вычисляет частные производные алгебраического выражения а по одной или нескольким переменной x1, x2,..., xn.

Напомним, что для неявного задания зависимости необходимо использовать правила неявного определения операторов. Если в операторе diff использовать просто имя переменной f, не присвоив ей предварительно никакого значения и не указывая неявной зависимости f(x), то в результате всегда будет получаться ноль.

В простейшем случае, для формального обозначения производной, можно записать

diff( f(x), x ) или Diff( f(x), x ).

Производные более высоких порядков или частные производные по нескольким переменным вычисляются рекурсивно. Например, diff( f(x,y),x,y ) вычисляется, как diff(diff( f(x,y),x ),y ). Для задания производных более высоких порядков можно применять оператор повторения значений $. Например, diff( f(x), x $ 4 ) эквивалентно diff( f(x), x, x, x, x ), а diff( f(x, y), x $ 2, y $ 3 ) эквивалентно diff( f(x, y), x, x, y, y, y ).

Имена, относительно которых должно быть выполнено дифференцирование, могут задаваться списком имен. В частном случае, это может быть пустой список. В этом случае, результат - просто первоначальное выражение.

Если производная не может быть выражена (например, выражение - неопределенная функция), функция дифференцирования возвращает общий вид выражения с записью формально примененных операторов дифференцирования.

При выполнении функций дифференцирования учитываются все известные правила, например, перестановка частных производных.

Операторы вида Diff( a, x1, x2,..., xn ) или Diff( a, [ x1, x2,..., xn ]) – инертные формы оператора дифференцирования. Никакие действия такими функциями не производится. Их можно использовать для подготовки текстовых документов, содержащих формулы.

Примеры:

> diff(sin( x ),x ); diff(sin( x ),y );

cos(x)

> diff(sin( x ), x$3 );

-cos(x)

> diff( x* sin(cos( x )),x );

sin(cos(x)) - x cos(cos(x)) sin(x)

> Diff(tan( x ),x );

> value( % );

> diff( g(x,y,z),x,z,z );

> diff( g(x,y,z),[ ] );

g(x, y, z)

Ещё один оператор дифференцирования функции f имеет вид D( f ). Он возвращает формальную запись производной f', даже если зависимость f от x не определена ни явным, ни неявным способом. В этом случае функция D( f ) эквивалентна функции diff( f(x), x ). Для задания конкретного аргумента или значения аргумента функции f используется следующий вид D:

D( f )( х ).

Частные производные с помощью этого оператора определяются так:

D[ i ]( f ) или D[ i ]( f )( х ).

Здесь i – номер переменной в записи оператора, задающего функцию f, по которой ведется дифференцирование. Если функция f задана процедурой, то и результат действия оператора D( f ) также будет процедура.