Вычисление сумм и рядов

Функции вида

sum( f, k ) или sum( f, k = m .. n ) или sum( f, k=alpha ) или sum( f, k=expr )

Sum( f, k ) или Sum( f, k = m .. n ) или Sum( f, k = alpha ) или Sum( f, k = expr )

задают символическое суммирование, что используется для вычисления конечных или бесконечных сумм. Здесь f – выражение, задающее члены суммы, k – имя индекса суммирования, m, n - целые числа или произвольные выражения, задающие пределы суммирования, alpha - выражение типа RootOf, expr - выражение, не содержащее k. Система возвращает сумму неоцененной. Например, обращение sum( k, k = 0.. n-1 ); возвратит формулу n ^ 2/2-n/2. Для вычисления суммы конечной последовательности выражений можно использовать добавляющую команду add, которая работает быстрее. Например, add ( k, k = 0 .. 9 ) возвращает 45.

Напомним, что для предотвращения преждевременной оценки параметров (например, k может иметь предыдущее значение), т.е. для использования имен параметров, как независимых переменных, рекомендуется заключать их в одиночные кавычки. Таким образом, общий формат - sum('f', 'k' = м.. n).

Обращение sum( ' f ', ' k ') вычисляет неопределенную сумму f(k) относительно k, т.е. вычисляется формула g(k) такая, что g(k+1)-g(k)=f(k) для всех k.

Обращение sum(' f ', ' k ' = m .. n ) вычисляет определенную сумму f (k) в диапазоне изменения k от m до n: f (m) + f (m + 1) +... + f (n). Например, обращение sum (n,n), эквивалентно обращению sum ('k' k, = 0.. n-1), возвращает значение (n ^ 2-n) /2.

Если m = n + 1, то возвращенное значение - 0. Если m> n + 1, то возвращенное значение - -sum( 'f', 'k' = n + 1.. m-1 ).

Обращение sum( 'f', 'k' = alpha ) вычисляет определенную сумму f (k) над корнями полиномиального выражения, задаваемого параметром alpha.

Обращение sum( 'f', 'k' = expr ) заменяет 'k ' значением expr в 'f '.

Если система не может найти сумму в замкнутом виде, то будет возвращено обращение к функции. Обращения, начинающиеся с прописных букв - инертная функция суммы - просто возвращают неоценённые выражения.

Примеры:

> sum( 'k^2', 'k'=0..4 );

> sum( 'k^2', 'k'=0..n );

> sum( 'k^2', 'k' );

> sum( ' a [k]*x^k','k'=0..4 );

> sum( '1/k!', 'k'=0..infinity );

exp(1)

> sum( '1/k^2', 'k'=1..infinity );

> Sum( 'a[k]*x^k','k'=0..n );

> sum( 'k/(k+1)', 'k'=RootOf(x^3-2) );

> add( a[i]*x^i, i=0..5 );

> add( i^2, i=0..n );

Error, unable to execute add

> Sum( n*(n+2)*x^n,n=1..infinity );

> value( % );

> simplify( % );