Обучающий блок

Содержание лекций (тезисы)

Раздел 1 «Аксиоматический метод. Теория множеств»

Лекция 1.1 «Аксиоматический метод. Теория множеств»

Вопросы:

1.Аксиоматический метод в математике, стадии развития.

2.Основные понятия теории множеств.

3.Операции над множествами (объединение, пересечение, разность).

4.Формула включений и исключений множеств.

5.Числовые множества.

6.Декартово произведение множеств.

7.Бинарные отношения.

Рассмотрим несколько разделов математики. Арифметика занимается числами. В геометрии речь идет о плоских фигурах и пространственных телах, В алгебре числа подразумеваются под буквами в формулах. Так что же характерно для всех разделов математики, любой ее теории?

В рассуждении математика опирается на уже доказанные утверждения. Каждое утверждение математики, полученное из ранее доказанных, на основании правил логического вывода именуется теоремой. Любая теорема или несколько теорем может послужить основанием для какой-то новой теоремы. Таким образом, математическая теория представляет собой совокупность теорем.

Логически последовательная стройность утверждения – это самое характерное и существенное свойство математики, которое проявилось уже в древнейшие времена в разделах арифметики и геометрии.

Со временем в математике появились формулы – особый язык для записи выкладок и теорем, очень точный, удобный, емкий. Например, теорему Пифагора можно сформулировать и словами: «В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы», но математик предпочтет этой фразе короткое равенство .

Если представить математику в виде огромного дома, то «кирпичиками» в нем будут теоремы. Но в любом здании, спускаясь все ниже и ниже, мы, в конце концов, добираемся до фундамента. Так можно действовать и с теоремами. Занявшись этим, мы рано или поздно доберемся до утверждений, истинность которых принимается без доказательств, которые называются аксиомами или постулатами.

Например, в «Началах» Евклида, на которых основывается наша геометрия, в начале книги перечисляются постулаты, на которые опираются в дальнейшем, выводя геометрические теоремы.

Все аксиомы появлялись из многократных опытов в окружающем мире. С течением времени аксиом становилось все больше. Они складывались в единую систему. Но эта система должна обладать двумя свойствами:

1. Полнота, т.е. из системы аксиом можно вывести любое необходимое для математической теории утверждение.

2. Непротиворечивость, т.е. чтобы из системы аксиом нельзя было вывести взаимоисключающие утверждения.

Аксиоматическим методом называется способ построения научной теории, при котором в основу теории кладется система аксиом, а остальные утверждения теории получаются как их логические следствия.

Понятие множества – одно из основных в математике. Можно говорить о множестве натуральных чисел, о множестве студентов, учащихся в ЮИМ, о множестве прямых на плоскости и т.д.

Понятие элемента множества также относится к первичным понятиям теории множеств. Элемент множества – это то, из чего это множество состоит. Например, число 6 – элемент множества натуральных чисел N, - элемент множества действительных чисел R.

Обычно множества обозначаются большими буквами: A, B, C, X, Z, Y …, а их элементы – маленькими буквами: a, b, c, x, z, y …. Так, если объект x является элементом множества A, то записывают , если же элемент x не принадлежит множеству A, то пишут .