Теорема об умножении вероятностей

Для двух событий А и В вероятность произведения двух событий АВ равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

или

Пример 7. В ящике содержится 8 белых и 13 черных шаров. Из ящика вынимают (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение: Пусть событие D ={появление двух белых шаров}. Тогда, если А ={появление первого белого шара}, В ={появление второго белого шара}, то . Значит, .

Вероятность первого события . Вычислим вероятность появления второго белого шара, при условии, что один белый шар уже достали. Белых шаров стало на 1 меньше, т.е. 7. Общее количество шаров также уменьшилось на 1, поэтому . Значит, .

Лекция 3.2 «Введение в теорию вероятностей»

Вопросы:

1.Формула полной вероятности.

2.Формула Байеса.

3.Дискретные и непрерывные случайные величины.

4.Основные сведения о числовых характеристиках случайных величин.

Пусть событие А может наступить только при появлении одного из несовместных событий , , …, , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности , , … . Тогда вероятность события А вычисляется по формуле:

Эту формулу называют формулой полной вероятности.

Формула Бейеса является следствием теоремы умножения вероятности и формулы полной вероятности.

Пусть событие А может наступить только при появлении одного из несовместных событий , , …, , которые образуют полную группу. Эти события иногда называют гипотезами. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности , , … . Тогда вероятность события вычисляется по формуле:

Случайная величина называется дискретной (прерывной), если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Количество возможных значений случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Случайная величина называется непрерывной, если она принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Таким образом, количество значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно.

Пример 7. Количество родившихся девочек на 100 новорожденных – это случайная величина, которая может принимать значения 0, 1, 2, …, 100. Значит, описанная величина является дискретной.

Пример 8. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле орудия – это случайная величина, т.к. это расстояние зависит не только от прицела, но и от других параметров (температуры воздуха, силы и направления ветра и т.д.). Значения, которые может принимать случайная величина, принадлежит некоторому промежутку . Поэтому данная величина является непрерывной случайной величиной.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х с возможными значениями , , … . Каждое из этих значений имеет собственную вероятность. Поэтому, чтобы задать случайную величину, необходимо перечислить все возможные ее значения и указать их вероятности. Такое задание дискретной случайной величины называется законом распределения дискретной случайной величины. Соответствие можно задать таблично (рядом распределения), графически (многоугольник распределения), аналитически (в виде формулы).

Пример 9. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Из них 15 имеют выигрыш по 50 000 рублей, 25 – по 10 000 рублей, 60 – по 5 000 рублей, остальные билеты без выигрыша. Найдите закон распределения выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение: возможные значения случайной величины Х равны: 50 000, 10 000, 5 000, 0. Вероятности этих значений равны: , , , . Выпишем ряд распределения:

	50 000	10 000	5 000

Основные сведения о числовых характеристиках случайных величин

Математическое ожидание случайной величины.

Часто приходится слышать фразы «среднее время работы холодильника равно 10 лет», «среднее время работы лампы рано 100 часам» и т.п. То есть дается некоторое среднее значение, заменяющее случайную величину при грубых ориентировочных расчетах. Эта характеристика, определяющая местоположение случайной величины на числовой оси (ее среднее значение), называется математическим ожиданием.

Математическим ожиданием прерывной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Х может принимать только значения , , … , вероятности которых соответственно равны , , … . Тогда математическое ожидание случайной величины Х определяется равенством

Пример 10. Бросают игральный кубик. Найдите математическое ожидание числа очков, которые выпадут.

Решение: Напишем закон распределения:

Тогда .

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько близко к цели попадут снаряды.

Можно легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но разные возможные значения. Таким образом, зная только математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, как значения рассеяны вокруг математического ожидания. Поэтому и вводят следующие характеристики.

Дисперсией прерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

Дисперсия случайной величины – это характеристика разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания.

Пусть случайная величина Х может принимать только значения , , … , вероятности которых соответственно равны , , … . Тогда дисперсия случайной величины Х определяется равенством

Но на практике для вычисления дисперсии чаще пользуются другой формулой: , где

Пример 11. Вычислим дисперсию для Примера 10.

Решение: 1. , тогда

.

Однако дисперсия имеет размерность равную квадрату величины рассеивания значений вокруг среднего значения (например, если Х выражается в метрах, то D (X) будет выражаться в метрах квадратных). Для того чтобы найти отклонение по имеющейся дисперсии используют еще одну характеристику.

Средним квадратическим отклонением прерывной случайной величины называют квадратный корень из дисперсии, т.е.

Пример 18. Найдем средние квадратические отклонения для случайных величин из Примера 10.

Решение: . Таким образом, если математическое ожидание случайной величины было равно , (т.е. среднее число выпавших очков), то отклонение от этого значения в большую и меньшую сторону будет составлять примерно 1,71. Таким образом, наиболее вероятно выпадение очков в диапазоне от 1,79 до 5,21.

Раздел 4 «Основы математической статистики»