Бесконечно малые и их свойства

Функция a(x) называется бесконечно малой при стремлении x к a, если = 0. Иными словами, если для любого e > 0 найдется такое d > 0, что для всех x из проколотой окрестности (a, d) справедливо неравенство | a(x) | < e.

Свойства бесконечно малых.

1. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых при стремлении x к a функций является бесконечно малой при стремлении x к a функцией.

Доказательство этого свойства непосредственно следует из теоремы об арифметических свойствах пределов. Проверьте самостоятельно.

2. Произведение бесконечно малой при стремлении x к a функции на ограниченную в некоторой окрестности точки a функцию является функцией, бесконечно малой при стремлении x к a.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть a(x) — бесконечно малая при стремлении x к a функция, то есть = 0, f (x) —функция, ограниченная в окрестности U (a,d₁), то есть существует такое число K, что для любого x из U (a,d₁) справедливо неравенство | f (x) | < K.

Возьмем произвольное e > 0. Поскольку = 0, то существует проколотая окрестность (a, d₂) точки a, для любого x из которой справедливо неравенство | a(x) | < . Возьмем d = min{d₁, d₂}. Тогда для любого x из окрестности U (a,d) справедливо неравенство | a(x) · f (x) | = | a(x) | · | f (x) | < · K = e. Следовательно, = 0, что и требовалось доказать.

3. Для того чтобы функция f (x) имела в точке a конечный предел, равный A, необходимо и достаточно, чтобы существовала бесконечно малая при стремлении x к a функция a(x), такая что f (x) = A + a(x).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Необходимость. Пусть = A. Обозначим a(x) = f (x) – A. Тогда f (x) = A + a(x). Осталось доказать, что = 0. По теореме об арифметических свойствах пределов, получаем = = – A = A – A = 0.

Достаточность. Пусть теперь f (x) = A + a(x), где a(x) — бесконечно малая при стремлении x к a функция. Докажем, что = A.

= = A + = A + 0 = A. Свойство 3. доказано.

Сравнение бесконечно малых.

Пусть a(x) и b(x) — бесконечно малые при стремлении x к a функции.

a(x) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем b(x), если . Обозначение: a(x) = o (b(x)).

a(x) и b(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , где C ¹ 0, C ¹ ±¥. Обозначение a(x) = O (b(x)).

a(x) и b(x) называются эквивалентными бесконечно малыми, если . Обозначение a(x) ~ b(x).