Функции и последовательности

ЛЕКЦИИ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Пусть каждому вещественному числу x из некоторого числового множества D поставлено в соответствие однозначно определенное вещественное число y. Тогда говорят, что на множестве D задана функция f, такая, что f (x) = y.

Множество D называется областью определения функции f, число x — ее аргументом, а число y — значением функции f в точке x.

Множество E = { y Î R: y = f (x), x Î D } называется областью значений функции f.

Если D = N (множество натуральных чисел), то такая функция называется последовательностью, задается и обозначается множеством своих значений { x _n }. Например, последовательность x _n = принимает следующие значения:

x ₁ = , x ₂ = , x ₃ = …

Графиком G функции f называется множество точек плоскости Oxy с координатами (x, f (x)), x Î D.

Способы задания функций:

1. аналитический

а) с помощью одной формулы, например, f (x) = 3 x + 7;

б) с помощью нескольких формул, например, f (x) = ;

в) неявно, в виде уравнения вида F (x, y) = 0,

например, x ² + arctg (xy) – 1= 0;

г) в виде суперпозиции функций: F (x) = f (u (x)). Например,

, то есть y = sin u, u = ; , то есть y = e ^u, u = cos v, v = 3 x.

2. графический;

3. табличный, в виде

x	x 1	…	x n
f (x)	y 1	…	y n

Основными элементарными функциями называются известные из школьного курса математики функции: степенная y = x ^a (с целым или дробным показателем), показательная y = a ^x, логарифмическая y = log _a x, все тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью арифметических действий или в виде суперпозиции, называются элементарными.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке [ a, b ], если для любых x ₁, x ₂ из этого промежутка, таких что x ₁< x ₂ справедливо неравенство f (x ₁) £ f (x ₂). Если f (x ₁) < f (x ₂), то функция f (x) строго возрастает.

Функция f (x) называется убывающей на промежутке [ a, b ], если для любых x ₁, x ₂ из этого промежутка, таких что x ₁< x ₂ справедливо неравенство f (x ₁) ³ f (x ₂). Если f (x ₁) > f (x ₂), то функция f (x) строго убывает.

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

В частности, последовательность { x _n } называется монотонно возрастающей (убывающей), если для любого n Î N справедливо неравенство x _n £ x _{n +1} (x _n ³ x _{n +1}).

Функция f (x) называется ограниченной сверху на промежутке [ a, b ], если существует такое число M, что для любого числа x из этого промежутка справедливо неравенство f (x) £ M.

Функция f (x) называется ограниченной снизу на промежутке [ a, b ], если существует такое число m, что для любого числа x из этого промежутка справедливо неравенство f (x) ³ m.

Функция, ограниченная на [ a, b ] и сверху, и снизу, называется ограниченной на [ a, b ]. Условие ограниченности функции может быть также записано в виде: существует число K, такое что | f (x) | £ K для любого x из [ a, b ].