Методичні поради. Потрібно чітко знати означення визначеного інтеграла як границі інтегральних сум та його геометричний і фізичний зміст

Потрібно чітко знати означення визначеного інтеграла як границі інтегральних сум та його геометричний і фізичний зміст.

Формула Ньютона-Лейбница зводить обчислення визначеного інтеграла до знаходження приросту деякої первісної підінтегральної функції на відрізку інтегрування. Ця формула є наслідком теореми Барроу: похідна інтеграла із змінною верхньою меженю дорівнює підінтегральній функції.

При обчисленні визначеного інтеграла методом заміни змінної можуть змінитися межі інтегрування, але не потрібно повертатися до старої змінної (див. приклад 39.1).

У формулі інтегрування частинами, можна знаходити приріст частини первісної в процесі рішення, не відкладаючи цю дію до повного відшукання первісної (див. приклади 39.2-39.3).

Слід знати властивості визначених інтегралів від парних та непарних функцій по симетричному проміжку.

Застосування визначеного інтеграла базуються на двох схемах: складання інтегральних сум або обчисленні диференціалів. Визначеним інтегралом можна обчислювати наступні геометричні величини: площа криволінійної трапеції та плоскої фігури (див. приклади 41.1-41.2); площа криволінійного сектора в полярних координатах (див. приклад 41.3); довжина дуги кривої (див. приклади 41.4-41.5); об’єм тіла через площу поперечних перерізів (див. приклад 41.6); об’єм (див. приклад 41.7) і площа (див. приклади 41.8-41.9) поверхні тіла обертання.

Визначеним інтегралом можна обчислювати наступні фізичні величини: робота змінної сили (див. приклади 41.10-41.11); шлях, пройдений тілом (див. приклад 41.12); тиск рідини на вертикальну пластинку (див. приклад 41.13); маса, статичні моменти відносно осей координат та координати центра мас плоскої кривої (див. приклад 41.14) та однорідної криволінійної трапеції (див. приклад 41.15).

Треба знати методи наближеного обчислення визначеного інтеграла: прямокутників, трапецій та Сімпсона, їх геометричний зміст та точність (див. приклад 42.1).