Задачі та вправи. І. Навести приклад множини Y, еквівалентної множині X={1,2,3,4,5}

І. Навести приклад множини Y, еквівалентної множині X ={1,2,3,4,5}. Скільки взаємно однозначних відображень існує між Х та Y?

ІІ. Чи рівнопотужні множини: 1) N ⁺ та N^-, 2) N^- та N ⁺, 3) N та Z, 4) N ⁺ та Q, 5) N та R?

III. Нехай А – незліченна множина й В – деяка зліченна підмножина множини А. Довести, що множина В \ А незліченна.

ІV. Чи є зліченною: 1) множина усіх непарних цілих чисел; 2) множина усіх ірраціональних чисел?

V. Методом математичної індукції довести, що:

1) n ⁷- n ділиться на 7 при будь-якому цілому невід’ємному n,

2) 5×2^{3 n -2} + 3^{3 n -1} ділиться на 19 при будь-якому цілому додатному n,

3) n ×(4 n ²-1) ділиться на 3 при будь-якому цілому n ³0,

4) n ²(n +1)² ділиться на 4 при будь-якому цілому невід’ємному n,

5) n ×(2 n ²-3 n +1) ділиться на 6 при будь-якому цілому невід’ємному n,

6) 4 ⁿ + 15 n -1 ділиться на 9 при будь-якому цілому невід’ємному n.

VІ. Методом математичної індукції довести рівності:

1) , 2) 1²+2²+…+ n ²= n (n +1)(2 n +1)/6, n >0,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) ,

8) (1+…+ n)²=1³+…+ n ³,

9) (a+b)ⁿ=C_n⁰aⁿb⁰+…+C_n^ja^n-j b^j+…+C_nⁿa⁰bⁿ , n ³1, 1£ j £ n.

VІІ. Методом математичної індукції довести, що

1) множина з n елементів має 2 ⁿ підмножин,

2) непорожню множину з n елементів можна розбити на дві непорожні множини 2 ^{n -1}-1 способами.