Операції над множинами

Об’єднанням множин А та В (позначається А È В) називається множина усіх об’єктів, що є елементами множини А або В, тобто

А È В = { х | х Î А або х Î В }.

Тут сполучник «або» використовується у тому розумінні, що елемент множини А È В може належати обом множинам (А та В).

Наведемо приклади об’єднання множин. Нехай А ={1,4,5,8,9}, В ={3,4,6}. Тоді А È В ={1,3,4,5,6,8,9}. Елемент 4 з об’єднання А È В належить обом множинам А та В, кожен з інших елементів з А È В належить лише одній з цих множин. Розглянемо тепер А È А. За визначенням об’єднання множин маємо: А È А = А. Дійсно, жоден елемент, що не належить множині А, не може належати й множині А È А. Нехай А ={ х | x – натуральне парне число}, В ={ x | x Î Z, x <-5}. Тоді А È В – це множина, елементами якої є усі від’ємні цілі числа, менші ніж -5, й усі натуральні парні числа.

Перетином множин А та В (позначається А Ç В) називається множина усіх об’єктів, що є елементами обох множини А й В, тобто

А Ç В = { х | х Î А та х Î В }.

Нехай, наприклад, А ={2,5,6,8,0}, В ={3,4,5,6}. Тоді А Ç В ={5,6}, оскільки елементи 5 та 6 й тільки вони є спільними для множин А та В. Розглянемо множини С ={1,2,3} та D ={4,5,6}. Очевидно, не існує жодного елементу, який би належав як множині С, так й множині D. Отже, множина С Ç D не містить жодного елементу, тобто є порожньою: С Ç D =Æ. Розглянемо перетин множин X ={ x | x Î N, х <100} та Y ={ х | x – непарне додатне число}. Х Ç Y – це множина непарних додатних чисел, що не перевищують 100.

Будемо говорити, що множини А та В не перетинаються, якщо А Ç В =Æ. Наприклад, не перетинаються множина від’ємних цілих чисел та множина натуральних парних чисел. Якщо А Ç В ≠Æ, то множини А та В є такими, що перетинаються. Наприклад, множини Z та N є такими, що перетинаються, оскільки вони мають спільні елементи.

Різницею множин А та В (позначається А \ В) називається множина, що складається з тих елементів множини А, які не належать множині В, тобто

А \ В ={ x | x Î A, x Ï B }.

Наприклад, якщо А ={2,5,6,8}, В ={3,5,8,9,0}, то А \ В ={2,6}. Нехай Х ={1,3,4,6}, Y ={4,5,6,1,2,3}; тоді Х \ Y =Æ, оскільки у множині Х немає таких елементів, які б не належали Y. Нехай Р – множина усіх непарних натуральних чисел, тоді N \ Р – це множина усіх невід’ємних парних цілих чисел.

Абсолютним доповненням (доповненням) множини А (позначається А ') називається множина тих об’єктів, які не належать множині А, тобто

А '={ х | х Ï А }.

Множина В \ А називається ще відносним доповненням множини А до множини В.

Покажемо, що В \ А = В Ç А '. Для цього треба довести, що В \ А Í В Ç А ' та В Ç А 'Í В \ А. Покажемо, що В \ А Í В Ç А '. Використовуючи визначення операцій різниці, перетину множин та операції доповнення множини, маємо: х Î В \ А Þ х Î В та х Ï А Þ х Î В та х Î А ' Þ х Î В Ç А ', отже, доведено, що х Î В \ А Þ х Î В Ç А ', а це означає, що В \ А Í В Ç А '. Тепер покажемо, що В Ç А 'Í В \ А: х Î В Ç А ' Þ х Î В, х Î А ' Þ х Î В, х Ï А Þ х Î В \ А, отже, х Î В Ç А ' Þ х Î В \ А.

Симетричною різницею множин А та В (позначається А D В або А + В) називається множина, елементи якої належать або тільки множині А, або тільки множині В, але не обом множинам А та В, тобто

А D В =(А \ В)È(В \ А).

Наприклад, нехай А ={1,2,3,4}, В ={3,4,6,7}, тоді А D В ={1,2,6,7}. Якщо А ={ х | х Î N, 1< х <101}, В ={ x | x Î N, х <100}, то А D В ={0,1,100}.

Розглянемо ще кілька прикладів доведення тверджень про множини.

І. Доведемо, що якщо А Í В, то А Ç С Í В Ç С (або, більш коротко, АÍ В Þ А Ç С Í В Ç С) для будь-яких множин А, В, С.

Нам треба показати, що А Ç С Í В Ç С за умови А Í В. Іншими словами, при доведенні включення А Ç С Í В Ç С ми можемо використовувати не лише загальні відомості про множини (такі, наприклад, як означення підмножини, операцій над множинами), а й те, що А Í В. Отже, нехай х Î А Ç С. Тоді, виходячи з означення операції перетину множин, маємо: х Î А та х Î С. Оскільки А Í В, то з х Î А випливає х Î В. Тепер з того, що х Î В та х Î С, випливає х Î В Ç С.

ІІ. Доведемо, що для будь-яких множин А та В

A Í B È C Û A Ç B ¢Í C.

Для доведення треба показати, що А Í В È С Þ А Ç В 'Í С та А Ç В 'Í С Þ А Í В È С. Покажемо спочатку, що А Í В È С Þ А Ç В 'Í С. Для цього доведемо включення А Ç В 'Í С, користуючись тим, що А Í В È С. Отже, нехай х Î А Ç В '. Звідси маємо: х Î А та х Î В ' (тобто х Ï В). Оскільки А Í В È С, то х Î В È С, отже, х Î В або х Î С. Але раніше ми одержали, що х Ï В. Тоді залишається тільки можливість х Î С. Таким чином, ми показали, що х Î А Ç В ' Þ х Î С, а це означає, що А Ç В 'Í С. Далі доведемо, що А Ç В 'Í С Þ А Í В È С. Для доведення треба показати, що А Í В È С за умови А Ç В 'Í С. Нехай х Î А. Якщо В – довільна множина, то х Î В або х Ï В. Розглянемо кожен з цих випадків. Нехай х Î В. Тоді з означення операції об’єднання множин випливає, що х є елементом множини, яка є об’єднанням множини В з будь-якою множиною. Отже, х Î В È С. Розглянемо тепер другий випадок, тобто х Ï В. Тоді х Î В ', а оскільки х Î А, то х Î А Ç В '. Але відомо, що А Ç В 'Í С, значить х Î С, звідки випливає, що х Î В È С. Коротко доведення можна записати таким чином.

(Þ) х Î A Ç B ¢ Þ х Î А, х Î В ' Þ х Î А, х Ï В Þ х Î В È С, х Ï В Þ х Î В або х Î С, х Ï В Þ х Î С.

(Ü) х Î А Þ х Î А, х Î В або х Ï В Þ 1) х Î А, х Î В або 2) х Î А, х Ï В.

1) х Î А, х Î В Þ х Î В Þ х Î В È С.

2) х Î А, х Ï В Þ х Î А, х Î В ' Þ х Î А Ç В ' Þ х Î С Þ х Î В È С.

Доведення завершено.

Якщо усі множини, що розглядаються при розв’язанні якоїсь задачі або при якихось міркуваннях, є підмножинами деякої множини U, то таку множину U називають універсальною множиною (універсумом). Наприклад, для елементарної арифметики універсальною множиною є Z. Для графічного зображення підмножин деякої універсальної множини U використовують так звані діаграми Венна, або кола Ейлера. Діаграма Венна є схематичним зображенням множин у вигляді точкових множин: універсальна множина зображується множиною точок деякого прямокутника, а її підмножина А – у вигляді кола або якоїсь іншої простої області усередині цього прямокутника. Доповнення множини А (до U) зображується тією частиною прямокутника, що лежить за межами кола, що зображує А. Множини, що не перетинаються, зображуються областями, що не перекриваються. Якщо А Í В, то на діаграмі Венна та область, що зображує множину А, цілком лежить усередині області, що зображує множину В. Діаграми Венна є корисним допоміжним засобом при вивченні операцій над множинами.