Включення та рівність множин

Нехай А та В – множини. Будемо говорити, що А включається у В, або А є підмножиною В (й позначати А Í В), якщо кожен елемент множини А є елементом множини В, тобто для кожного х, якщо х Î А, то х Î В. Використовується також й позначення В Ê А, що означає «В включає А» (або «В є надмножиною А»). Наприклад, Z Í Q, оскільки кожне ціле число є раціональним; R Ê Z, тому що кожне ціле число є дійсним числом; множина А ={2,4,1} є підмножиною множини В ={-1, 0,1,2,3,4}, оскільки для елементів 2, 4, 1 множини А виконується: 2Î В, 4Î В, 1Î В. Якщо для множин А та В твердження А Í В не є істинним, будемо писати А Ë В. Наприклад, Q Ë Z, оскільки не кожне раціональне число є цілим; якщо X ={ а, b, c }, Y ={ b, c, d }, то Х Ë Y, тому що множина Х містить такий елемент (а саме, елемент а), якого немає у множині Y, тобто не кожен елемент множини Х є елементом множини Y (так само, як не кожен елемент множини Y належить множині Х, отже, Y Ë Х). Якщо увести позначення: (" х) – «для кожного х» (або «для довільного х»), Þ – «випливає» (або «слідує»), Û – «тоді й тiльки тоді, коли», то визначення включення множин можна записати таким чином: А Í В Û (" х) х Î А Þ х Î В.

Очевидно, що для будь-якої множини Х виконується Х Í Х. Доведемо, що для будь-яких множин X, Y, Z X Í Y, Y Í Z Þ X Í Z. Для цього достатньо показати, що (" х) х Î Х Þ х Î Z. При доведенні будемо використовувати те, що X Í Y та Y Í Z. Отже, нехай х Î Х. Оскільки X Í Y, то х Î Y, але Y Í Z, а тому х Î Z. Таким чином, ми показали, що для довільного х х Î Х Þ х Î Z. Коротко побудоване міркування можна записати так: х Î Х Þ х Î Y Þ х Î Z.

Назвемо множини X та Y рівними (й позначимо Х = Y), якщо X Í Y та Y Í Х, тобто Х = Y Û Х Í Y та Y Í Х. Наприклад, множини А ={3,7,2} та В ={7,2,3} рівні, тому що А Í В та В Í А, оскільки для елементів множини А маємо: 3Î В, 7Î В, 2Î В, а для елементів множини В маємо: 7Î А, 2Î А, 3Î А. Якщо умова рівності множин Х та Y не виконується (тобто Х Ë Y або Y Ë Х), то будемо говорити, що множини Х та Y не рівні й писати Х ≠ Y. Наприклад, якщо Х ={ a, b, c }, Y ={ d, f, a }, то Х ≠ Y, оскільки Х Ë Y (а також Y Ë Х); множини {1,2,3} та N не рівні, оскільки N Ë{1,2,3} (хоча {1,2,3}Í N).

Множина Х називається власною підмножиною множини Y, або Х строго включається в Y (позначається Х Ì Y), якщо Х Í Y, але Х ≠ Y, тобто Х Ì Y Û Х Í Y та Х ≠ Y. Наприклад, якщо А ={ a, b, c }, В ={ a, b, c, d }, то А Ì В, оскільки для елементів множини А маємо: а Î B, b Î B, c Î B, отже, А Í В, але В Ë А, тому В ≠ А. Також Z Ì Q, оскільки не кожне раціональне число є цілим (й тому Q Ë Z), тобто Z ≠ Q, хоча Z Í Q.

Через Æ позначимо множину, що не містить жодного елементу, тобто (" х) х ÏÆ. Така множина називається порожньою множиною. З визначення порожньої множини випливає, що ÆÍ А для будь-якої множини А. Дійсно, оскільки Æ не має елементів, то умова х ÎÆ Þ х Î А не порушується для жодного х. Зауважимо, що множина {Æ} не є порожньою, оскільки містить один елемент (порожню множину), отже, Æ≠{Æ}, але ÆÎ{Æ}. Для множини A ={ a, b, c } маємо ÆÏ А, тому що серед елементів множини А немає елемента Æ.