Теорема Гаусса для напряженности электростатического поля

Пусть в некоторой области пространства известно векторное поле напряженности электростатического поля . Допустим, что в окрестности фиксированной точки пространства имеется элемент поверхности площади , ориентацию которого можно задать с помощью вектора единичной (безразмерной) нормали к этому элементу поверхности. Поскольку элемент поверхности является двусторонним объектом, то направление нормали можно выбрать произвольно. Введем в рассмотрение объект

,

1.42

вектор элемента площади поверхности. В соответствии с (1.42) этот вектор численно равен площади элемента поверхности, имеет размерность площади и направлен вдоль , то есть вдоль нормали к элементу поверхности.

Элемент потока вектора через площадку по определению равен скалярному произведению вектора и вектора :

.

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 1) заряжена с постоянной поверхностной плотностью +σ (σ = dQ/dS — заряд, который приходится на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны данной плоскости и направлены от нее в каждую из сторон. Возьмем в качестве замкнутой поверхности цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности поля (соsα=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Е_n совпадает с Е), т. е. равен 2ES. Заряд, который заключен внутри построенной цилиндрической поверхности, равен σS. Согласно теореме Гаусса, 2ES=σS/ε₀, откуда Из формулы следует, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях равна по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +σ. Т.к. заряд распределен равномернопо поверхности то поле, которое создавается им, обладает сферической симметрией. Значит линии напряженности направлены радиально (рис. 3). Проведем мысленно сферу радиуса r, которая имеет общий центр с заряженной сферой. Если r>R,ro внутрь поверхности попадает весь заряд Q, который создает рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 4πr²E = Q/ε₀, откуда

(3)

При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 4. Если r'<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри себя зарядов, значит внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (E=0).

Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 6) равномерно заряжен с линейной плотностью τ (τ = –dQ/dt заряд, который приходится на единицу длины). Из соображений симметрии мы видим, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. Мысленно построим в качестве замкнутой поверхности коаксиальный цилиндр радиуса r и высотой l. Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы и линии напряженности параллельны), а сквозь боковую поверхность равен 2πr l Е. Используя теорему Гаусса, при r>R 2πr l Е = τ l /ε₀, откуда

(5)

Если r<R, то замкнутая поверхность внутри зарядов не содержит, поэтому в этой области E=0. Значит, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра задается выражением (5), внутри же его поле равно нулю.

3.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля
В случае, если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль какой-либо траектории (рис. 1) двигается другой точечный заряд Q₀, то сила, которая приложена к заряду, совершает некоторую работу. Работа силы F на элементарном перемещении d l равна:

Так как d l /cosα=dr, то:

Работа при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2
(1)
от траектории перемещения не зависит, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Значит, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными.
Из формулы (1) видно, что работа, которая совершается при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по произвольному замкнутому пути L, равна нулю, т.е.
(2)
Если в качестве заряда, которого перемещают в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути d l равна Е d l = E _l d l, где E _l = Ecosα — проекция вектора Е на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (2) можно представить в виде:
(3)

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Значит, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, которое обладает свойством (3), называется потенциальным. Из равенства нулю циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они обязательно начинаются и кончаются на зарядах (на положительных или отрицательных) или же идут в бесконечность.
Формула (3) верна только для электростатического поля. В дальнейшем будет показано, что с случае поля движущихся зарядов условие (3) не верно (для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля).

Электростатический потенциал -скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию поля, которой обладает единичный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала является, таким образом, единица измерения работы, деленная на единицу измерения заряда:

Напряжённость электростатического поля и потенциал связаны соотношением:

4.

Электрический диполь — система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (),
расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля.

Понятие диполь используется в понятии магнитный диполь, где имеется система из 2 тел, в которых протекает ток, образующий электрическое поле.

5.

Все силы, возникающие в электростатическом поле, являются в конечном счете силами, действующими на заряд.
Сила, действующая на заряд равна:
F=qE (без учета направления)
Момент сил, действующий на диполь, равен:
M=p*E,
где p – дипольный момент, E – напряженность поля (без учета направления и угла наклона)

6.

Диэлектрики в электрическом поле ведут себя не так как проводник, хотя при этом у них есть нечто общее. Диэлектрики отличаются от проводников тем, что в них отсутствуют свободные носители зарядов. Всё-таки они там есть, но в очень малом количестве. В проводниках такими носителями зарядов являются электроны, свободно перемещающиеся вдоль кристаллической решётки металлов. Но вот в диэлектриках электроны прочно связаны со своими атомами и не могут свободно перемещается.

При внесении диэлектрика в электрическое поля в нем наступает электризация также как и в проводнике. Отличие же диэлектриков состоит в том что электроны не могут свободно перемещаться по объёму как это происходит в проводниках. Но под действием внешнего электрического поля внутри молекулы вещества диэлектрика появляется некоторое смещение зарядов. Положительный смещается вдоль направления поля, а отрицательный против. Вследствие этого поверхность получает некий заряд. Процесс образования заряда на поверхности диэлектриков под действием электрического поля называется поляризацией диэлектрика.

Заряды на поверхности диэлектриков в отличии зарядов индуцированных в проводниках нельзя отделить от поверхности. При снятии электрического поля поляризация пропадёт. Заряды снова перераспределятся в объёме вещества.

Напряжённость поля нельзя увеличивать безгранично. Так как при определенной величине заряды сместятся настолько, что произойдет структурное изменение материала, проще говоря, пробой диэлектрика. Он в этом случае теряет свои изоляционные свойства.

Относительная диэлектрическая проницаемость среды ε — безразмерная физическая величина, характеризующая свойства изолирующей (диэлектрической) среды. Величина ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия двух электрических зарядов в среде меньше, чем в вакууме.

7.

В неоднородной диэлектрической среде имеет различные значения, изменяясь на границах диэлектриков
скачкообразно (претерпевая разрыв). Это затрудняет применение формул, описывающих взаимодействие зарядов в вакууме. Что касается теоремы Гаусса, то в этих условиях она вообще теряет смысл. В самом деле, благодаря различной поляризуемости разнородных диэлектриков напряженности поля в них будут различными. Поэтому различно и число силовых линий в каждом диэлектрике (рис.14.6).

Часть линий, исходящих из зарядов, окруженных замкнутой поверхностью, будет заканчиваться на границе раздела диэлектриков и не пронижет данную поверхность. Это затруднение можно устранить, введя в рассмотрение новую физическую характеристику поля – вектор электрического смещения

(14.8)

Вектор направлен в ту же сторону, что и . В отличие от напряженности поля вектор имеет постоянное значение во всех диэлектриках. Поэтому электрическое поле в неоднородной диэлектрической среде удобнее характеризовать не напряженностью , а смещением . С этой целью вводится понятие линий вектора и потока смещения, аналогично понятию силовых линий и потока напряженности.

Используя теорему Гаусса

домножим обе части на

С учетом (14.8) получаем

Это уравнение выражает теорему Гаусса для вектора электрического смещения: полный поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, заключенных в этой поверхности.

8.

Электрическая емкость -характеристика проводящего тела, мера его способности накапливать электрический заряд.
Электрическая емкость (C) есть отношение сообщенного заряда к возникающему в результате этого потенциалу.
С = q/.
Конденса́тор — двухполюсник с определённым значением ёмкости; устройство для накопления заряда и энергии электрического поля. Конденсатор является пассивным электронным компонентом. Обычно состоит из двух электродов в форме пластин (называемых обкладками), разделённых диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок.

9.

Энергия электрического поля — Энергия заряженного конденсатора равна работе внешних сил, которую необходимо затратить, чтобы зарядить конденсатор

В формуле мы использовали:

— Энергия электрического поля

— Диэлектрическая проницаемость среды

— Диэлектрическая постоянная

— Объем занимаемый электрическим полем

— Напряжение

— Площадь обкладок

— Расстояние между обкладками конденсатора

Электрическое поле обладает энергией. Плотность этой энергии определяется величиной поля и может быть найдена по формуле:

где E — напряжённость электрического поля, D — индукция электрического поля.

10.

Если проводник поместить во внешнее электростатическое поле или зарядить его, то на заряды данного проводника будет действовать электростатическое поле, под действием которого они начнут двигаться. Движение зарядов (ток) будет длиться до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри данного проводника обращается в нуль. Это происходит в течение очень короткого времени. Действительно, если бы поле не было равно нулю, то в проводнике появилось бы упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что не согласуется с законом сохранения энергии. Значит, напряженность поля во всех точках внутри проводника равна нулю:

Если внутри проводника электрического поле отсутствует, то потенциал во всех точках внутри проводника одинаков (φ = const), т. е. поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной. Это означает, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника направлен по перпендикуляру к каждой точке его поверхности.
Индуцированные заряды - это заряды противоположного знака, появившиеся в результате разделения у концов проводника.

Результирующие поле определяется как суперпозиция внешнего поля и поля

индуцированных зарядов.
Перераспределение зарядов в хорошо проводящих металлах при действии внешнего электрического поля происходит до тех пор, пока заряды внутри тела практически полностью не скомпенсируют внешнее электрическое поле. При этом на противоположных сторонах проводящего тела появятся противоположные индуцированные заряды.

Экранировка электростатического поля:
Если внесенное во внешнее электрическое поле тело не было заряжено, то сумма наведенных на нем зарядов оказывается равной нулю. Эти заряды распределяются так, чтобы их поле внутри проводящего тела в точности скомпенсировало внешнее поле. Ничто не изменится, если проводящее тело будет полым – во всей полости тела поле также будет отсутствовать. Этим обстоятельством широко пользуются для электростатического экранирования различных приборов и аппаратов от внешних электрических полей. С этой целью приборы помещают в замкнутые металлические оболочки, называемые экранами. Как показывает опыт, экраны можно выполнять и из мелкой металлической сетки.

Если экран заземлить, то такой экран способен в равной мере защищать внешнее пространство от поля зарядов, помещенных внутри экрана.

Магнетизм

1.

Сила Ампера:
На проводник с током, находящийся в магнитном поле, действует сила Ампера, равная

F = I·L·B·sina

I - сила тока в проводнике;
B - модуль вектора индукции магнитного поля;
L - длина проводника, находящегося в магнитном поле;
a - угол между вектором магнитного поля и направлением тока в проводнике.

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная составляющая вектора магнитной индукции В входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца были направлены по направлению тока, то отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление силы, действующей на отрезок проводника с током, то есть силы Ампера.

Сила Лоренца:

Так как электрический ток представляет собой упорядоченное движение зарядов, то действие магнитного поля на проводник с током есть результат его действия на отдельные движущиеся заряды.

Силу, действующую со стороны магнитного поля на движущиеся в нем заряды, называют силой Лоренца.

Сила Лоренца определяется соотношением:

F_л = q·V·B·sina
где q - величина движущегося заряда;
V - модуль его скорости;
B - модуль вектора индукции магнитного поля;
a - угол между вектором скорости заряда и вектором магнитной индукции.

Обратите внимание, что сила Лоренца перпендикулярна скорости и поэтому она не совершает работы, не изменяет модуль скорости заряда и его кинетической энергии. Но направление скорости изменяется непрерывно.

Вектор магнитной индукции — векторная величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля (его действия на заряженные частицы) в данной точке пространства.

2.

Магнитное поле — силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения.
Создается током заряженных частиц.

Закон Био — Савара — Лапласа — физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током.
Закон Био — Савара — Лапласа играет в магнитостатике ту же роль, что и закон Кулона в электростатике.
Формулировка закона Био Савара Лапласа имеет вид: При прохождении постоянного тока по замкнутому контуру, находящемуся в вакууме, для точки, отстоящей на расстоянии r₀, от контура магнитная индукция будет иметь вид:

Закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током:

3.
Это теорема Гаусса для (в интегральной форме): поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. И вот почему:

В 1931 г. П. Дирак высказал предположение о существовании обособленных магнитных зарядов, названных впоследствии монополи Дирака. Однако до сих пор они не найдены. Это приводит к тому, что линии вектора не имеют ни начала, ни конца. Мы знаем, что поток любого вектора через поверхность равен разности числа линий, начинающихся у поверхности, и числа линий, оканчивающихся внутри поверхности:

.

В соответствии с вышеизложенным, можно сделать заключение, что поток вектора через замкнутую поверхность должен быть равен нулю.

Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие:

,

4.