Принятие решений в условиях риска

Принятие решений в условиях риска характеризуется тем, что поведение среды имеет случайный характер, причем в этой случайности имеются закономерности стохастического типа. В общем случае это проявляется в том, что существует некоторая вероятностная мера, в соответствии с которой возникают те или иные состояния среды. Причем ЛПР имеет определенную информацию об этом. В наиболее простом случае это выглядит так: если множество состояний среды конечно, то есть , то вероятностная мера на нем может быть задана вероятностным вектором , где , – вероятность наступления -го состояния среды.

Считаем, что оценочная структура ЗПР задана в виде оценочной функции. Целевая функция представлена в виде матрицы выигрышей .

Такая ЗПР называется также «игрой с природой».

	состояния среды
альтернативы

Выбирая -ю альтернативу, получаем один из выигрышей с вероятностью соответственно. Таким образом, исходом является величина . Следовательно, сравнение альтернатив и сводится к сравнению соответствующих им случайных величин. Для этого используется математическая ожидание и дисперсия . Математическое ожидание показывает величину ожидаемого выигрыша, а дисперсия – величину риска. Часто используется не дисперсия, а среднеквадратичное отклонение (СКО): . Получаем двухкритериальную задачу.

Чтобы получить представление о математическом ожидании, рассмотрим следующую ситуацию: группа сдает три экзамена.

							Среднее
Оценка
Отклонение		-1		-1	-1
СКО

Результат: 4 1.

Другой пример:

							Среднее
Оценка
Отклонение		-1		-1
СКО

Подход А. Использование обобщенного критерия: где - некоторая постоянная, определяемая ЛПР. Этот критерий – взвешенная сумма М и с весами 1 и (- ). При , что характеризует ЛПР как человека, не склонного к риску. При , наоборот, , что характеризует ЛПР как человека, склонного к рискую Если же , то, следовательно, ЛПР безразличен к риску.

Таким образом, – субъективный показатель меры склонности к риску (показатель осторожности). Будем считать, что ЛПР не склонен к риску (). Тогда критерий М будет позитивным, а – негативным. Возьмем из множества альтернатив две альтернативы и . Тогда , .

Возможны два случая:

а) Альтернативы и сравнимы по Парето.

Пусть . Тогда и (причем хотя бы одно из этих неравенств является строгим) > , то есть > . Таким образом, в этом случае независимо от меры склонности ЛПР к риску (от значения ) .

б) Альтернативы и несравнимы по Парето.

Пусть, пример, > и > (больше ожидаемый выигрыш и больше риск). Тогда > . Таким образом, , если ; , если .

В многокритериальной ЗПР основная трудность – в выборе одной оптимальной альтернативы из множества Парето-оптимальных альтернатив. Она легко преодолевается, если Парето-оптимальные альтернативы проранжировать по предпочтению. Это можно сделать с использованием вышеприведенных формул.

Найдем и , где – множество Парето-оптимальных альтернатив ( > и > ).

Назовем нижней границей несклонности к риску, а верхней границей несклонности к риску. Тогда всегда выполняется .

Правила:

1) Если у ЛПР , то для этого ЛПР ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив по обобщенному критерию должно совпадать с ранжированием по показателю ожидаемого выигрыша , то есть более предпочтительней будет альтернатива с большим .

2). Если у ЛПР , то для этого ЛПР ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив по обобщенному критерию должно совпадать с ранжированием по показателю риска (есть более предпочтительной будет альтернатива с меньшим риском).

Показатель (мера склонности к риску) предлагается определять на основе психологических качеств ЛПР на основе наблюдения за тем, как ЛПР принимает решения в различных ситуациях.

Подход В. Использование отношений доминирования по Парето.

Пусть ЛПР не склонен к риску, тогда будет позитивным критерием, а –негативным.

Условие доминирование по Парето означает, что для альтернативы получается такой же (или больший) ожидаемый выигрыш, но с меньшим (или таким же) риском.

Окончательный выбор альтернативы производится из этого множества на основе неформальных добавочных соображений. При втором подходе производится сужение множества Парето с применением ранее изученных методов.

Пример: выбор варианта производимого товара.

Фирма может выпускать продукцию одного из следующих типов: зонты (З), куртки (К), плащи (П), сумки (С), шляпы (Ш), туфли (Т). Глава фирмы должен решить, какую продукцию выпускать предстоящим летом. Прибыль фирмы зависит от того, каким будет лето: дождливым (Д), жарким (Ж) или умеренным (У). Пусть ЛПР имеет информацию о вероятности наступления дождливого, жаркого или умеренного лета:

	Д (0,2)	Ж (0,5)	У (0,3)
З
К
П
С
Т
Ш

Ожидаемый выигрыш:

М(З)=80*0,2+60*0,5+40*0,3=58;

М(К)=58;

М(П)=57;

М(С)=56;

М(Т)=55;

М(Ш)=62,5.

Определим дисперсии (по формуле )

D (З)=6400*0,2+3600*0,5+1600*0,3-(58) =196;

D (К)=336;

D (П)=61;

D (С)=84;

D (Т)=100;

D (Ш)=231,5.

Среднеквадратичное отклонение:

;

;

;

;

;

.

	М
З
К		18,3
П		7,8
С		9,2
Т
Ш	62,5	15,2

Результат сводим в таблицу:

Парето-оптимальное множество – . Из него выбирается одна альтернатива.

Найдем оптимальное решение с помощью обобщенного критерия: q(З)=58-14 ; q(С)=56-9,2 ; q(К)=58-18,3 ; q(Т)=55-10 ; q(П)=57-7,8 ; q(Ш)=62,5-15,2 .

Найдем и :

= =0,16; = 3,8; = =0,74.

=min(0,16; 3,8; 0,74)=0,16; =max(0,16; 3,8; 0,74)=3,8.

По правилу ранжирования получаем:

1) Если для ЛПР , то Ш З П. Оптимальная альтернатива – Ш.

2) Если для ЛПР , то П З Ш. Оптимальная альтернатива – П.

3) Если для ЛПР , например, . Тогда:

q(З)=58-14*2=30; q(П)=57-7,8*2=41,4; q(Ш)=62,5-15,2*2=32,1. Получаем П Ш З.

14. Оценка многокритериальных альтернатив – подход аналитической иерархии

Автор: Т. Саати. Analytic Hierarchy Process (AHP).

Данный подход широко известен в настоящее время. Типичная постановка задачи, решаемой этим методом, заключается обычно в следующем: дана общая цель решения задачи, альтернатив и критериев оценки альтернатив. Требуется выбрать наилучшую альтернативу.

Подход AHP состоит из ряда этапов:

1) Структуризация задачи в виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы.

2) ЛПР выполняет попарное сравнение элементов каждого уровня. Результаты сравнений переводятся в числа с помощью специальной таблицы.

3) Вычисляются коэффициенты важности для элементов каждого уровня, при этом проверяется согласованность суждений ЛПР.

4) Подсчитывается количественный индикатор качества каждой из альтернатив и определяется лучший из них.

В качестве примера рассмотрим ситуацию выбора места для постройки аэропорта. Критерии для оценки альтернатив таковы: C1 – стоимость постройки (желательно подешевле), C2 – расстояние до города (желательно, чтобы расстояние было меньше), C3 – минимальное шумовое воздействие (число людей, подвергающихся шуму, должно быть минимально). Эти критерии противоречивы. Например: постройка аэропорта вдали от города возможно потребует меньших затрат, но время поездки будет больше.