Эмпирические функция и плотность распределения. Полигон и гистограмма частот

Пусть имеется выборочная совокупность объёма п значений некоторой случайной величины и каждому варианту из этой совокупности поставлена в соответствие его относительная частота (частность). Пусть, далее, х -некоторое действительное число, а п(х) - число выборочных значений случайной величины , меньших х.

Эмпирической функцией распределения или функцией распределения выборки называется функция , определяющая для каждого относительную частоту события . Итак, по определению

.

Пример 3. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины Х по данным таблицы 1 из примера 1 и нарисовать её график.

Решение. Итак, нам известно распределение частот дискретной случайной величины Х – посещаемость занятий по математике студентами первого курса за один месяц.

Используя эту таблицу, находим объём выборки:

Определим значение эмпирической функции распределения для диапазона изменения значений вариант от до

Наименьшая варианта равна 0, значит при

Значения , т.е. , наблюдалось 7 раз, следовательно, при

Значения а именно: наблюдалось раз, следовательно, при

Значения а именно: наблюдалось раз, следовательно, при

Значения ,а именно: наблюдалось раз, следовательно, при

Значения а именно: наблюдалось раз, следовательно, при

Аналогично находим при Так как - наибольшая варианта, то при

В результате получаем искомую эмпирическую функцию распределения, значения которой представимы в виде таблицы.

Функцию наряду с табличным способом задания можно задать аналитически, используя формулу, по которой она определяется:

Здесь совпадает с .

В рассматриваемом примере эмпирическая функция распределения относительных частот, при округлении её значений до двух знаков после запятой, принимает вид:

Построим график функции распределения Для этого отложим по оси ОХ значения вариант, а по оси ОУ – значения функции

Рис.1

Пример 4. Построить эмпирическую функцию распределения и её график для случайной величины - отклонения напряжения от номинального по распределению.

Решение. В данном случае имеем непрерывную с.в.Х с интервальным вариационным рядом распределения вида:

Для построения выборочной функции распределения поступаем следующим образом. Из вариационного ряда следует, что для всех функция распределения равна нулю. Пусть теперь . В этом случае число не определено, так как не известно, сколько выборочных значений случайной величины Х, принадлежащих этому интервалу, меньше х. Если то Следовательно, Рассуждая аналогично, убеждаемся, что точками, в которых значения функции можно определить, являются правые концы интервалов и все точки интервала на котором Поэтому на практике достаточно найти значения статистической функции распределения в граничных точках интервалов статистического ряда. Далее, расчеты производим аналогично дискретному случаю. Используя определение функции распределения выборки, имеем:

Полученные данные для запишем в виде следующей таблицы:

		0,060	0,160	0,353	0,586	0,799	0,926	0,979

На основании этой таблицы строим точечную диаграмму с координатами Так как таблица определяет функцию не полностью (не для всех х известны её значения), то при графическом изображении её доопределяем, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой (рис.2). В результате график функции будет представлять собой непрерывную линию (рис.2).

Рис.2

Пример 5. В результате испытаний случайная величина Х приняла следующие значения: 2, 4, 5, 7, 1, 10, 4, 5, 9, 6, 8, 6, 2, 3, 4, 7, 6, 8, 3, 8, 10, 6, 4, 7, 3, 9, 4, 5, 6, 4. Составить вариационный ряд и построить полигон распределения относительных частот.

Решение. Анализируя статистические данные, устанавливаем, что в выборке объёма имеется десять вариант: Их частоты

соответственно.

Вычисляем относительные частоты по формуле

Контроль:

Напишем распределение относительных частот:

Эту таблицу можно записать в виде:

	0,03	0,07	0,10	0,20	0,10	0,16	0,10	0,10	0,07	0,07

Округление значений относительных частот следует производить таким образом, чтобы выполнялось равенство

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладываем варианты , а на оси ординат соответствующие им относительные частоты согласно табл. 10. Полученные точки соединяем отрезками прямых. Образовавшаяся ломаная (рис.3) является полигоном распределения относительных частот.

Рис.3