Движение тела с переменной массой

В некоторых случаях в процессе движения масса тела изменяется. Например, движение ракеты, связанное с выбросом топлива, движение вагона при разгрузке щебенки.

До начала движения импульс тела равен , после — .

Импульс газа — .

Согласно закону сохранения импульса:

, ,

,

— уравнение Мещерского.

В том случае, если внешние силы равны нулю, и начальную массу обозначить через ,

интегрируя это уравнение, получаем — уравнение Циолковского.

Для того чтобы ракета достигла первой космической скорости при относительной скорости v =1 км/с соотношение должно быть порядка 2000, если =4 км/с, — порядка 7000.Полученное уравнение Мещерского можно записать также для движения вагона, у которого из бункера высыпается какой-то продукт. Если v высыпания определяется формулой , то .

Энергия,работа.мощность.

Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаимодействия.

Работа силы: количественная характеристика процесса обмена энергией между взаимодействующими телами.

Элементарная работа силы: (где альфа-угол между векторами F и dr;

ds=/dr/- элементарный путь; Fs – проекция вектора F на вектор dr).

Работа силы на участке 1-2

и определяется площадью заштрихованной фигуры.

Работа – скалярная величина.

Кинетическая энергия механической системы: энергия мех движения этой системы.

Приращение кинетической энергии частицы на элементарном перемещении равно элементарной работе на том же перемещении: dE=dA. Это выражение можно расписать как:

Тогда:

Кинетическая энергия всегда положительна; неодинакова в разных инерциальных системах отсчёта; является функцией состояния системы.

Мощность: физическая величина, характеризующая скорость совершения работы. (N=dA/dt)

За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени (N=Fdr/dt=Fv) т.е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка.

Мощность – скалярная величина.

Единицы работы: Дж (1 Дж – это работа, совершаемая силой 1Н на пути 1м: 1 Дж=1Н м)

Единицы мощности: Вт (1 Вт – это мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж: 1Вт=1Дж/с )

Консервативные силы

сила, работа которой при перемещении тела из одного положения в другое не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положения тела. (например гравитационные силы, кулоновские)

Все другие силы (например силы трения) относятся к неконсервативным силам

Потенциальная энергия: мех энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определённом положении считают раной нулю (выбирают нулевой уровень), а энергию тела в др положениях отсчитывают относительно нулевого уровня.

Потенциальная энергия тела массой m на высоте h: Еп=mgh; потенциальная энергия упругодеформированного тела: (k – коэфф упругости )

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической, является функцией состояния системы. Она зависит от конфигурации системы и её положения по отношению к внешним силам.

Закон сохранения энергии

в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем. Ек+Еп=Е=const

Это фундаментальный закон природы. Он является следствием однородности времени: инвариантности физических законов относительно выбора отсчёта времени.

Диссипативные системы: система, в котрой механическая энергия постепенно уменьшается за счёт преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (рассеяния) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная мех энергия системы не сохраняется. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии – сущность неуничтожимости материи и её движения.

Абсолютно упругий удар

столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остаётся никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Абсолютно неупругий удар: столкновение двух тел, в результате которого тела объединившись, двигаются дальше как единое целое.

(например шары из пластелина)

В данном случае закон сохранения энергии не соблюдается. Вследствии деформации происходит потеря кинетической энергии, перешедшей в другие формы энергии. Эту потерю можно определить по разности кинетической энергии тело до и после удара.

или (учтено выражение для v)

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно, то ;

Если m2>>m1,то v<<v1 и почти вся кинетическая энергия при ударе переходит в другие виды энергии.

Момент силы относительно неподвижной точки О: Физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r, проведённого из точки О в точку А приложения силы, на силу F: Здесь М – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F.

Момент силы относительно неподвижной оси z: Скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определённого относительно произвольной точки О данной оси z. Значение момента не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью: .

Момент импульса относительно неподвижной точки О: Физическая величина, определяемая произведением , где r – радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А; p=mv - импульс материальной точки; L – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p.

Момент импульса относительно неподвижной оси z: Скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки О на оси z.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени: . Это фундаментальный закон природы. Он является следствием изотропности пространства: инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчёта.

Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Учитывая, что , получим:

Продифференцируем это ур-ние по времени:

Можно показать, что имеет место векторное рав-во:

Это выражение – ещё одна форма уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твёрдого тел относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

В замкнутой системе момент внешних сил М=0 и откуда L=const (см выше)

Момент инерции относительно неподвижной оси вращения: момент инерции системы (тела) относительно оси вращения есть физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распредел. масс эта сумма сводится к интегралу: где интегрирование производится по всему объёму тела. Величина r в данном случае есть функция положения точки по координатам x,y,z.

Т. Штейнера: Момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относ параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Момент инерции тонкого стержня: (ось перпенд. Стержню и проходит через его середину) ;

То же (но ось проходит через его конец) ; Для др предметов: (шар (ось через центр): ;

Полый тонкостенный цилиндр: ; сплошной цилиндр или диск радиуса R:

Кинетическая энергия вращающегося тела: Абсолютно тв тело вращается вокруг неподвижной оси, разбивая его на элементарные объёмами массами м1,м2,..,мn, находящимися от оси на расстояниях r1,r2,..,rn запишем: Поскольку , то Где J – момент инерции тела относительно оси z (Из обычной формулы Ек и формулы Евр следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении.

. Механический принцип относительности: законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Система К’ движется равномерно и прямолинейно со скоростью u (u-const) Скорость направлена вдоль ОО”, тогда вектор перемещения равен произведению скорости на время.

В основе механики лежат преобразования Галилея. Преобразования координат Галилея: Задают связь между радиусами-векторами или координатами произвольной точки А в обеих системах: или .Время в системах протекает одинаково.

Основы классической физики в следующих 5-и постулатах:

1. Принцип относительности Галилея.

2. Утверждение о принципиальной возможности бесконеч скорости передачи взаимодействий.

3. Предположение о неограниченности, относительности скорости в инерциальных с.о.

4. Это предположение о Евклидовости, трёхмерности, непрерывности, однородности, изотропности и односвязности пространства в инерциальных с.о.

5. Предположение об однородности, одномерности, непрерывности, однонаправленности вр. В инерц с.о.

Принцип эквивалентности: массу можно измерять из опытов по изучению движения объекта под действием какой-то силы.

Исходя из m=F/a измеренная таким образом масса называется инертной.

А исходя из то измеренная таким образом масса называется гравитационной.

Так вот: Это следует из экспериментов т.к никакие измерения не дали различия в величинах инертной и гравитационной массах.

Специальная теория относительности: специальная теория относительности основывается на двух постулатах Эйнштейна:

1. Все законы природы инвариантны при переходе от одной инерциальной с.о. к другой.

2. Скорость распространения света в вакууме не зависит от относительных скоростей и это означает существования конечной скорости распространения взаимодействий.

Преобразования Лоренца (при ): Система K’ движется относительно системы К со скоростью

v=const.

Преобразования Лоренца имеют следующий вид:

1. Эти ур-ния симметричны и отличаются лишь знаком при v, что очевидно.

2. При v<<c они переходят в классические преобразования Галилея.

В закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени – пространственные координаты (устанавливается взаимосвязь пространства и времени).

Релятивистский закон сложения скоростей:

Пусть материальная точка движется в системе K’ вдоль оси x’, а K’ движется относительно К со скоростью v (оси x и x’ совпадают).

Произведя вычисления, получим релятивистский закон сложения скоростей:

Если скорости малы по сравнению со скоростью с, то эти формулы переходят в закон сложения скоростей в классической механике. Релятивистский закон сложения скоростей не противоречит второму постулату Эйнштейна. В самом деле, если , то . Если , то , т.е. скорость с- предельная скорость, которую невозможно превысить.

. Понятие одновременности. Относительность длин и промежутков времени:

Относительность одновременности: Пусть системе К в точках х1 и х2 в моменты времени t1 и t2 происходят два события. В системе K’ им соответствуют координаты x1’ и x2’ и моменты времени t1’ и t2’. Если события в системе К происходят в одной точке (х1=х2) и являются одновременными (t1=t2), то, согласно преобразованиям Лоренца,

x1’=x2’, t1’=t2’,

Т.е. эти события в системе К явл одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчёта.

Если события в системе К разобщены (х1<>х2), но одновременны, то в системе K’, согласно преобразованиям Лоренца,

Т.е.

Таким образом, в системе K’ эти события, оставаясь пространственно разобщёнными, оказываются и неодновременными.

Длительность событий в разных с.о.: Пусть в некоторой точке (с координатой х), покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого T=t1-t2, где 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе K’: T’=t2’-t1’ (*), где

Подставив в (*), получаем

T<T’, т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке наименьшая в той инерциальной с.о., относительно которой эта точка неподвижна. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной с.о., идут медленнее покоящихся часов, т.е. ход часов замедляется в системе отсчёта, относительно которой часы движутся

Длина тела в разных с.о.: Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси x’ и покоящийся относительно системы K’. Длина стержня в системе K’ будет где x1 и x2 не изменяющиеся со временем координаты начала и конца стержня, индекс 0 показывает, что в системе K’ стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необходимо измерить координаты его концов x1 и x2 в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность и даст длину стержня в системе K:

т.е.

Размер тела, движущегося относительно инерциальной с.о., уменьшается в направлении движения в раз, т.е. лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения.

Поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных с.о.

Релятивистский импульс:

Закон сохранения релятивистского импульса: реалятив импульс замк системы сохр, т.е. не изм с теч времени. (следствие однородности пространства)

Основной закон релятивистской динамики:

Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной с.о. к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца.

Основной закон релятивистской динамики:

Где - релятивистский импульс материальной точки.

Это уравнение инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами.

Релятивистское выражение для кинетической энергии:

Поскольку полная энергия в релятивистской динамике – это сумма кинетической энергии и энергии покоя, т.к. энергия покоя равна: и полная энергия равна: где m – масса частицы, v – её скорость, то окончательно мы имеем:

. Закон взаимосвязи массы и энергии в релятивистском случае:

Воспользовавшись релятивистской массой: формулу

Можно записать в виде: . Из этого соотношения вытекает, что энергия тела и его релятивистская масса всегда пропорциональны друг другу. Всякое (за исключением изменения потенц энергии во внешнем поле сил) изменение энергии тела сопровождается изменением релятивистской массы тела и, наоборот, всякое изменение массы сопровождается изменением энергии тела: . Это утверждение носит название закона взаимосвязи релятивистской массы и энергии.

Соотношение между полной энергией и импульсом частицы:

Энергия и импульс в разных системах отсчёта различны. Но существует инвариантная величина

Подставив сюда получим

Возвращаясь к ур-нию для полной энергии, отметим, что оно универсально: с энергией, какой бы формы она не была, связана масса и, наоборот, со всякой массой связана определённая энергия.

Гармонические колебания:

колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по зако

ну синуса или косинуса.

Уравнение гармонических колебаний: где А – амплитуда, - циклическая фаза, - начальная фаза в момент времени t=0, - фаза колебаний в момент времени t. Фаза колебаний определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени.

Период гармонического колебания: промежуток вр Т, в течении которого фаза колебания получает приращение т.е.

откуда

Математический маятник:

Идеализированная система, состоящая из матер точки массой м, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.

Пружинный маятник:

Груз массой м, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы: . Период: ; циклическая частота: (формула периода справедлива в тех случаях когда выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой груза).

Физический маятник:

Твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс С тела. Физ маятник совершает колебания по закону с циклической частотой и периодом: где L – приведённая длина физ маятника.

Приведённая длина физ маятника – это длина такого мат маятника, который колеблется с физическим маятником синхронно. (для мат маятника )

Вывод дифференциального уравнения гармонических колебаний:

, где - угл ускор: - матем модель для любых углов отклонения для физического маятника;

Предположив, что углы малы т.е.

- иском ур-ние.