Обчислення детермінанта n-го порядку

Для квадратних матриць поряд з поняттям мінора вводиться поняття додаткового до нього мінора. Нехай дана квадратна матриця і її мінор М порядку k. Мінором М^', доповнювальним до мінора М, називається детермінант матриці, одержаної із даної викреслюванням тих її k рядків і k стовпців, які входять в мінор М. Мінори квадратної матриці називаються також мінорами її визначника. Алгебраїчним доповненням мінора називається доповняльний до нього мінор, взятий із знаком (-1)^s,де s сума номерів тих рядків і стовпців даної матриці, які входять в мінор, що розглядають.

Теорема Лапласа. Детермінант n-го порядку дорівнює сумі добутків всіх можливих мінорів k-го порядку (1£k£n-1), які можна скласти із довільно вибраних k-рядків і k-стовпців, на алгебраїчні доповнення цих мінорів.

Зауваження. Теорема Лапласа дозволяє розкласти детермінант n-го порядку за декількома рядками (стовпцями). Вона дає можливість зводити обчислення детермінанта n-го порядку до обчислення декількох детермінантів k-го і (n-k)-го порядків. Цих нових детермінантів може виявитися багато (при великому n), тому застосовувати теорему Лапласа доцільно лише в тих випадках, коли в даному детермінанті є такі рядки або стовпці, що більшість із відповідних мінорів k-го порядку або доповнювальних до них мінорів дорівнюють нулю.

ПРИКЛАДИ:

Приклад №1.

Застосовуючи теорему Лапласа, обчислити детермінант

Розв'язання.

Виділимо перший і третій стовпці, які утримують нулі. Із елементів цих стовпців можна скласти ряд (сk_n) мінорів другого порядку, деякі з них рівні нулю.

Застосовуючи теорему Лапласа, розкладемо детермінант D за мінорами першого і третього стовпців.

Якщо в детермінанті D головну діагональ покривають дві матриці без спільних елементів з детермінантами D₁ та D₂ і по одну сторону від них всі елементи рівні нулю, то D=D₁D₂.

Наприклад:

Якщо маємо ступінчатий детермінант D, тобто на головній діагоналі його стоїть ланцюжок квадратних матриць з детермінантами D₁,D₂,...,Dk, а по одну сторону від цього ланцюжка всі елементи дорівнюють нулю, то D=D₁D₂...Dk,

Наприклад:

Приклад №2.

Обчислити детермінант n-го порядку

Розв'язання.

В даному детермінанті всі елементи головної діагоналі дорівнюють а, всі останні елементи дорівнюють B. Якщо відняти від всіх рядків перший, то одержимо детермінант

,

який хоч і не є трикутним, але легко зводиться до трикутного вигляду. Для цього достатньо до першого стовпця додати суму всіх останніх стовпців. В результаті такого перетворення одержимо:

Приклад №3.

Обчислити детермінант n-го порядку:

Розв'язання.

В даному детермінанті всі елементи головної діагоналі дорівнюють 3, всі елементи вздовж "верхньої" паралелі до головної діагоналі дорівнюють 2, вздовж "нижньої" паралелі дорівнюють 1. Метод, за допомогою якого обчислюються подібні детермінанти, називається методом рекурентних співвідношень. Він полягає в тому, що даний детермінант виражають через детермінанти такого ж типу, але більш низького порядку. Одержана рівність називається рекурентним співвідношенням.

В даному випадку рекурентне співвідношення одержуємо наступним чином. Позначимо даний детермінант n-го порядку через D_n. Розкладемо його за елементами першого рядка:

Перший із детермінантів, які стоять в правій частині, є не що інше, як D_n‑1; щодо другого, то розклавши його за елементами першого стовпця, знаходимо, що він дорівнює D_n-2. Таким чином, маємо рекурентне співвідношення

Запишемо одержане співвідношення в такому вигляді:

Звідси бачимо, що числа a_n=D_n – D_n-1 утворюють геометричну прогресію із знаменником 2. Отже. а_n=2^n-2a₂, або D_n – D_n-1=2^n-2(D₂–D₁).

Але

так, що D_n – D_n-1=2^n-2 4=2ⁿ. Тоді

Послідовно знаходимо:

Якщо рекурентне співвідношення має вигляд D_n =P D_n-1+q D_n-2, де P i q – сталі (тобто не залежать від n) числа. В цьому випадку можна вивести формулу для обчислення Dn.

Якщо q=0 то D_n=p^n-1 D₁, де D₁ –детермінант першого порядку даного вигляду.

Якщо q¹0, то розв'язуємо квадратне рівняння x²-px+q=0. Нехай A і B – його корені. Якщо A¹B то D_n =c₁aⁿ +c₂ bⁿ, де

D₁ i D₂ – детермінанти першого і другого порядку даного вигляду. Вирази для с₁ і с₂ можна знайти безпосередньо за формулами:

Якщо q¹0, A = B, то

де

Приклад №4.

Обчислити детермінант Якобі n-го порядку

Розв'язання.

Рекурентне співвідношення D_n =5 D_n-1- 6 D_n-2

Розв'язуємо рівняння x²-5x+6=0. Його корені A =2 B=3. Знаходимо

,

тому для с₁ і с₂ маємо систему рівнянь:

Звідки с₁=-2, с₂=3.Отже

Детермінантом Вандермонда називається детермінант вигляду

Він обчислюється за формулою