Системи лінійних рівнянь

Лінійним рівнянням з n невідомими називається рівняння виду a₁x₁+a₂x₂+...+a_nx_n=B, (1) де a₁, a₂,..., a_n, B – дані числа, A x₁, x₂,..., x_n – невідомі, які в це рівняння входять у першому степені (лінійно).

Розв'язком рівняння (1) називається будь-яка сукупність чисел a₁, a₂,..., a_n, при підставлянні яких у дане рівняння замість невідомих x₁, x₂,..., x_n відповідно (тобто замість x₁ підставляємо a₁, замість x₂ підставляємо a₂, і.т.д.) воно перетвориться у числову рівність: a₁a₁+a₂a₂+...+a_na_n=B

Часто виникає потреба знайти спільні розв'язки кількох лінійних рівнянь, тобто розв'язати систему лінійних рівнянь. У загальному випадку систему m лінійних рівнянь з n невідомими записують у вигляді:

(2)

Якщо в лінійному рівнянні вільний член дорівнює нулю, то таке рівняння називається однорідним. Якщо всі рівняння системи однорідні

(3)

то вона називається системою однорідних лінійних рівнянь, або однорідною системою рівнянь.

Розв'язком системи лінійних рівнянь називається будь-який вектор (a₁, a₂,..., a_n), який є розв'язком кожного з рівнянь системи. Система лінійних рівнянь, яка не має розв'язків, називається несумісною. Система лінійних рівнянь, яка має хоч один розв'язок, називається сумісною. Сумісна система, яка має один розв'язок, називається визначеною. Сумісна система, яка має безліч розв'язків, називається невизначеною.