Закон нормального распределения. 2.04

Наиболее важным законом распределения непрерывных случайных величин является закон нормального распределения (закон Гаусса). Главная особенность этого закона заключается в том, что ему подчиняются многие случайные величины и к нему приближаются другие законы распределений при увеличении числа испытаний.

Закон нормального распределения обладает следующими свойствами:

а) плотность нормального распределения выражается формулой:

,

где х_м.о. — математическое ожидание случайной величины,

s — стандартное отклонение случайной величины;

б) закон нормального распределения полностью характеризуется математическим ожиданием случайной величины и ее стандартным отклонением;

в) вероятность попадания значений случайной величины х в интервал [ a, b ] определяется интегралом:

г) вероятность случайной величины максимальна в точке, соответствующей математическому ожиданию случайной величины х.

д) вероятность случайной величины изменяется симметрично относительно точки, соответствующей математическому ожиданию случайной величины х;

е) при неограниченном стремлении значений случайной величины х к ±∞ вероятность случайной величины стремится к нулю;

ж) график закона нормального распределения:

имеет характерную форму колокола;

расположен выше оси 0Х,

симметричен относительно вертикальной оси, проходящей через точку, соответствующую математическому ожиданию случайной величины х;

имеет левую и правую ветви асимптотически (то есть постоянно и неуклонно) приближающиеся к оси 0Х, но никогда ее не пересекающие.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [ a, b ] равна площади заштрихованной криволинейной трапеции на графике закона нормального распределения:

В практических вычислениях удобно пользоваться функцией Excel НОРМРАСП, которая рассчитывает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины будет меньше (не больше) аргумента х:

НОРМРАСП(х; среднее; станд. отклонение; 1),

х: верхняя граница интервала (–∞; х) значений случайной величины;

среднее: математическое ожидание (среднее значение) случайной величины;

станд. отклонение: стандартное отклонение случайной величины.

Последний параметр принимаем равным 1, так как будем рассматривать только данный вариант функции.

Пример 1. Средняя цена акций фирмы А равна 1100 руб., стандартное отклонение цены — 250 руб. Предполагая, что цена акций подчиняется нормальному закону, определите:

какой процент акций дешевле 700 руб.?

какой процент акций дороже 1600 руб.?

Решение.

1) Формула имеет вид:

= НОРМРАСП(700; 1100; 250; 1) = 0.055 = 5,5%.

Ответ: приблизительно 5,5% акций дешевле 700 руб.

2) Формула имеет вид:

= 1 – НОРМРАСП(1600; 1100; 250; 1) =
= 1 – 0.977 = 0.023 = 2,3%.

Ответ: приблизительно 2,3% акций дороже 1600 руб.

Задача 1. Вероятность заказа рекламных плакатов в зависимости от их размера изменяется по нормальному закону.

Средний, наиболее часто заказываемый размер — 200 см. Стандартное отклонение размеров — 50 см. Определить вероятность заказа рекламных плакатов размером от 150 до 250 см.

Решение:

= НОРМРАСП(250;200;50;1) – НОРМРАСП(150;200;50;1) = 0,68.

Ответ: 68%.

Задача 2. Согласно статистическим наблюдениям рейтинг кандидата в президенты изменяется по нормальному закону. Средний рейтинг составляет 80 баллов со стандартным отклонением 20. Чему равна вероятность того, что рейтинг кандидата будет меньше 50 баллов?

Решение: = НОРМРАСП(50;80;20;1).

Ответ: 7%

Задача 3. По статистическим наблюдениям, число поступивших в университет изменяется по нормальному закону. В среднем при поступлении в университет вступительные экзамены сдают 25% поступающих. Стандартное отклонение числа поступивших — 20 чел. Чему равняется вероятность, что из 2100 абитуриентов не менее 500 поступят в университет?

Решение: = 1 – НОРМРАСП(500;2100 · 0,25;20;1) = 0,89.

Ответ: 89%.

Вопросы

1. Что такое случайная величина? Назовите примеры дискретной и непрерывной случайной величины.

2. Что такое закон распределения? Какие характеристики случайной величины он связывает?

3. Как с помощью закона распределения вычислить математическое ожидание и стандартное отклонение?

4. В чем особенности нормального закона распределения? Какая функция Excel позволяет вычислять вероятности, распределенные по нормальному закону?

2 Элементы математической статистики.
ДЕ-2.7/3.03

Слово статистика происходит от итальянского слова stato — государство, так как статистика первоначально связывалась со сбором данных, необходимых для управления государством. Сегодня статистика проникает во все сферы человеческой деятельности.

Статистика разрабатывает методы сбора, систематизации, анализа и отображения результатов наблюдения массовых случайных явлений с целью изучения закономерностей, которым эти явления подчиняются.

Математическая статистика — наука, создающая математический аппарат анализа статистических данных.

Применение методов математической статистики позволяет вычислять характеристики экспериментальных данных, оценивать по ним характеристики всей совокупности данных, находить зависимость между характеристиками разных совокупностей данных, проверять предположения (гипотезы) относительно статистических характеристик, оценивать точность полученных результатов.

Вопросы

1. Чем занимается математическая статистика как наука?

2. Назовите примеры использования статистики в гуманитарной сфере.