ББК 30в6 3 страница

Преобразуем по Лапласу уравнения (27)

s n(s) – n(0) = A n(s) + BF (s)

и получим выражение для изображения вектора состояния

n(s) = (sI – A)^-1n(0) + (sI – A)^-1 BF (s). (33)

В этой сумме первое слагаемое – свободное, а второе – вынужденное движения системы. Для получения оригинала – функции времени n(t) выполняется операция обратного преобразования Лапласа. В данном случае выражение для изображения представляет собой матрицу, однако справедлива аналогия со скалярным случаем. Оригинал скалярной функции

имеет вид экспоненты. Оказывается, что аналогичное выражение имеет место и в матричном случае, т.е.

L ^-1 {(sI – A)^-1} = e^At = Ф(t),

что является матричной экспонентой, называемой матрицей перехода. Произведению изображений отвечает свертка оригиналов, это справедливо и для матриц. Поэтому вектор состояния как функция времени получается из выражения (33) и имеет следующий вид:

(34)

Изображение переменной выхода при нулевых начальных условиях n(0) = 0 получится подстановкой второго слагаемого выражения (33) во второе уравнение системы (27):

Если на вход системы подается единичный импульс, т.е. F (s) = 1, то реакция системы (импульсная переходная функция) определяется из выражения (34):

(35)

Сопоставляя полученную формулу с выражением для передаточной функции (32), замечаем, что

.

Отсюда следует один из способов получения матрицы перехода путем обращения по Лапласу матрицы (sI – A) ^-1.

2.6. Модели систем управления с раскрытой

причинно-следственной структурой

Под структурой систем управления понимают причинно-следственную связь между элементами направленного действия. Понятия «система» и «структура» являются близкими по смыслу. Наиболее общие определения понятий системы и структуры строятся как отношения на множествах, математически это графы. Графы являются универсальным средством описания структур систем. При небольшом числе элементов и связей весьма наглядны диаграммы графов, т.е. их геометрические образы.

В зависимости от элементов множеств рассматриваются различные типы графов. Приведенная на рис.3, а схема, иллюстрирующая принципы управления, отражает типовые структуры причинно-следственных отношений основных элементов систем управления и, по существу, представляет собой ориентированный граф. Электрическая и механическая схемы, изображенные на рис.2, также являются примерами графов, только неориентированных.

Имея в виду структуру связей элементов, иногда говорят о топологии (топографии) системы. Даже без конкретизации вершин и дуг, т.е. только по топологии, можно сделать ряд важнейших выводов о свойствах системы, которые сохраняются при дальнейшем раскрытии неопределенности – уточнении структур операторов и конкретизации значений параметров.

В зависимости от подхода к моделированию и от конкретного содержания элементов исходного множества и элементов отношения модели с раскрытой структурой могут быть представлены структурными схемами, сигнальными графами, системами дифференциальных уравнений в причинно-следственной форме и некоторыми другими формами.

Структурная схема (C-граф) представляет собой причинно-следственную связь звеньев. Линейное звено (рис.7, а) в общем случае имеет любое число входов; оно преобразует сумму входов в единственную переменную выхода по некоторому оператору W_i (рис.7, б):

В частном случае оператора тождественного преобразования звено выступает как сумматор.

Структурная схема является ориентированным графом и состоит из множества вершин W = { W ₁, …, W_N } и множества дуг Х = {(W_i, W_j)} – упорядоченных пар вершин. Дугам графа соответствуют переменные x_i; i = 1,..., N, а вершинам – звенья. Для того, чтобы отличать рассматриваемый граф от сигнальных графов других типов, назовем его С-графом. На языке теории бинарных отношений С-граф определяется как пара множеств:

С = < W, X >,

а структурная схема (геометрический образ) называется также диаграммой графа (рис.8). Вершина С-графа – звено общего вида, по определению суммирует переменные заходящих дуг. Это позволяет отказаться от специального элемента суммирования, что отличает С-графы от классических структурных схем.

Дуга С-графа – элемент (W_i, W_j) отношения Х задает причинно-следственную связь между двумя звеньями, причем выход j -го звена является входом i -го. Дуге (W_i, W_j) соответствует переменная x_j.

Теоретико-множественное описание систем дает естественный способ ввода и редактирования моделей систем управления как последовательного раскрытия неопределенности. Для этого модели упорядочиваются по рангам неопределенности R = 0, 1, 2, 3.

Множество W звеньев задает модель нулевого ранга M_s (0). Для примера С-графа, диаграмма которого изображена на рис.8, множество перечисляется так:

W = { W ₁ , W ₂ , W ₃ , W ₄}.

В случае однотипных звеньев можно ограничиться заданием числа вершин графа (звеньев), т.е. мощности множества .

Дополнение модели M_s (0) множеством Х дает модель первого ранга М_s (1) – это топология (топография) системы. Для С-графа, изображенного на рис.8, множество перечисляется так: Х = {(1,3), (1,4), (2,1), (3,2), (4,1)}. В перечислении приведены только индексы (номера) звеньев.

Дальнейшее раскрытие неопределенности достигается при задании структур операторов вершин. Для рассматриваемого класса систем передаточные функции являются отношениями полиномов: W_i (s) = B_i (s) / A_i (s). Задание их структур сводится к указанию степеней m_i и n_i полиномов B_i и A_i. Когда для всех звеньев заданы структуры операторов, образуется модель системы структурного ранга М_s (2).

Пусть для рассматриваемого примера системы передаточные функции звеньев имеют вид W ₁(s) = k ₁; W ₂(s) = k ₂ / (1 + T ₂ s)²; W ₃(s) = -1; W ₄(s) = -t₄ s / (1 + T ₄ s). Информацию о структурах операторов можно закодировать массивами степеней полиномов числителей и знаменателей передаточных функций: {0,0,0,1} и {0,2,0,1}.

Результатом конкретизации значений всех коэффициентов полиномов является полностью определенная модель третьего, параметрического ранга М_s (3).

Ранее изложено описание собственно системы (автономной системы). Для описания связей системы со средой следует указать звено, на вход которого подается воздействие, и звено, выход которого является выходом системы. На примере С-графа (рис.8) номер входного звена r = 1, а выходного q = 2. В результате оказывается определенной модель системы со связями со средой M_ysf (3). При изучении влияния вариаций звеньев на характеристики системы указывается варьируемое звено. На рис.8 им является звено W ₂.

Сигнальный граф (граф Мэзона) является одной из удобных в теории и расчетной практике форм представления моделей систем управления.

Модель системы в форме сигнального графа определяется как бинарное отношение W на множестве переменных Х = { x ₁, …, x_N }: G = < X, W >

Элементам отношения W = {(x_i x_j)} ставятся в соответствие операторы преобразования переменных. На диаграммах сигнальных графов переменным отвечают вершины, где суммируются сигналы заходящих дуг, а элементам отношения – дуги. Способы задания моделей различных рангов в форме сигнальных графов те же, что и для С-графов.

На рис.9 изображена диаграмма сигнального графа – модель топологического ранга, несущая ту же информацию о системе, что и структурная схема (рис.8). Необходимо подчеркнуть, что формы представления моделей и способы их отображения могут быть различными – символьными или алгебраическими (уравнения, матрицы), геометрическими или топологическими (диаграммы графов). Информация о моделях различных рангов R последовательно раскрывается описанием множеств, задающих: состав элементов R = 0; топологию причинно-следственных связей между ними R = 1; структуры операторов R = 2; параметры R = 3.

Теоретико-множественное представление структур систем в форме графов обеспечивает формализацию описания моделей, упрощает кодирование их графических образов, а также разработку алгоритмов анализа систем.

2.7. Типовые звенья автоматических

систем управления

При исследовании САУ ее разбивают на простые звенья. В результате этого математическое описание каждого звена может быть составлено без учета связей его с другими звеньями, а описание всей САУ получено как совокупность уравнений отдельных звеньев.

Уравнение усилительного звена имеет вид:

y = Kx. (36)

Передаточная функция в этом случае:

W (p) = K. (37)

Амплитудно-фазовая характеристика:

W (j w) = K. (38)

Примером усилительного звена является рычаг. Уравнение рычага имеет вид

Уравнение апериодического звена имеет вид:

. (39)

Передаточная функция:

(40)

Амплитудно-фазовая характеристика:

(41)

АФЧХ представляет собой полуокружность с радиусом K/ 2 и центром в точке (K/ 2, j ^*0) на действительной оси (рис.10).

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

(42)

При малых значениях w << 1/ Т

(43)

На больших частотах, когда w >> 1/ T

. (44)

В соответствии с выражениями (43) и (44) на рис.10, б приведена ЛАЧХ апериодического звена. Примером апериодического звена является рассмотренная ранее емкость.

Уравнение колебательного звена:

(45)

причем Т ₁ и Т ₂ связаны условием

(46)

Это условие означает, что корни характеристического уравнения вида

(47)

соответствуют дифференциальному уравнению (45), являются комплексными. Передаточная функция, соответствующая уравнению (45), имеет вид

(48)

Переходная функция, являющаяся решением уравнения (45) при х = l (t), приведена на рис.11.

Амплитудно-фазовая характеристика звена (рис.12):

. (49)

Примером колебательного звена являются электрический резонансный контур (рис.13)и двухъемкостная схема (рис.14).

Если в уравнении (45) выполняется условие

, (50)

то характеристическое уравнение (47) имеет отрицательные действительные корни. В этом случае звено называется апериодическим звеном второго порядка. Все рассмотренные выше звенья называются статическими.

Уравнение интегрирующего звена:

(51)

или в интегральной форме:

(52)

Переходная функция интегрирующего звена имеет вид (рис.15, а):

; (53)

передаточная функция:

(54)

амплитудно-фазовая характеристика (рис.15, б):

(55)

Иногда применяется другая форма записи уравнения интегрирующего звена:

(56)

Примером интегрирующего звена является емкость с притоком жидкости сверху, причем расход на стоке не зависит от уровня в емкости (рис.16). Такая емкость не обладает самовыравниванием на притоке. Интегрирующее звено называется астатическим.

Уравнение дифференцирующего звена:

(57)

переходная функция:

; (58)

передаточная функция:

; (59)

амплитудно-фазовая характеристика:

, (60)

т.е. она совпадает с положительной мнимой полуосью.

Характеристики дифференцирующего звена обратны характеристикам интегрирующего звена. Идеальных дифференцирующих звеньев в природе не существует, но они используются при анализе сложных систем, из которых можно выделить дифференцирующие звенья.

Звено с запаздыванием без искажения воспроизводит на выходе входную величину, задерживая ее на время запаздывания t.

Уравнение такого звена имеет вид:

; (61)

передаточная функция:

; (62)

амплитудно-фазовая характеристика:

. (63)

Примерами таких звеньев являются транспортеры (рис.17), длинные трубопроводы и т.д. Если известны расстояние l и скорость движения ленты транспортера v, то запаздывание можно определить по формуле

. (64)

2.8. Характеристики систем с типовой структурой

Системы с типовой структурой образуются последовательным (рис.18, a), параллельным (рис.18, б) соединениями звеньев или соединением с обратной связью (рис.18, в). Выявление свойств типовых систем в целом связано с построением эквивалентных систем со свернутой структурой (рис.18, г). Эквивалентные системы в терминах вход-выход могут быть представлены в форме дифференциального уравнения

A _э(р) у (t) = В _э(р) f (t), (65)

передаточная функция

временная характеристика:

;

частотная характеристика

Дифференциальные уравнения системы, образованной последовательным соединением звеньев, запишутся так:

A ₁(p) x ₁(t) = B ₁(p) f (t);

A ₂(p) x ₂(t) = B ₂(p) x ₁(t);

y (t) = x ₂(t).

В результате исключения переменных х ₁ и х ₂ получим операторные полиномы уравнения (65):

А _э(р) = А ₁(р) А ₂(р); В_э (р) = В ₁(р) В ₂(р).

Одновременно получаем передаточную функцию эквивалентного звена:

W _э(s) = W ₁(s) W ₂(s). (66)

Временную характеристику – импульсную переходную функцию получаем обратным преобразованием Лапласа передаточной функции (66):

w _э(t) = .

Амплитудная частотная характеристика равна произведению соответствующих характеристик последовательно соединенных звеньев:

R _э(w) = R ₁(w) R ₂(w),

фазочастотная характеристика равна сумме

j_э (w) = j₁(w) + j₂(w),

ЛАЧХ системы получается в виде суммы

L _э(w) = L ₁(w) + L ₂(w).

На рис.19 изображен пример графического построения ЛАЧХ системы, образованной последовательным соединением интегрирующего звена W ₁ и апериодического звена первого порядка W ₂.

Дифференциальные уравнения системы, образованной параллельным соединением звеньев (см. рис.18, б), запишутся так:

А ₁(p) x ₁(t) = В ₁(p) f);

А ₂(p) x ₂(t) = В ₂(p) f (t);

y (t) = x ₁(t) + x ₂(t).

В результате исключения переменных x_i получим операторные полиномы эквивалентного уравнения (65):

А _э(p) = А ₁(p) А ₂(р);

В _э(p) = В ₁(p) А ₂(p) + А ₁(р) В ₂(р).

Передаточная функция эквивалентного звена получается как сумма передаточных функций звеньев:

W _э(s) = W ₁(s) + W ₂(s). (67)

Временная характеристика системы является суммой временных характеристик звеньев:

w _э(t) = w ₁(t) w ₂(t).

При параллельном соединении звеньев легко получить вещественную Р_э (w) и мнимую Q_э (w) частотные характеристики эквивалентного звена:

Р _э(w) = Р ₁(w) + Р ₂(w); Q _э(w) = Q ₁(w) + Q ₂(w).

Диполь передаточной функции W _э(s) получается:

· если одна из передаточных функций звеньев имеет диполь;

· звенья имеют одинаковые полюсы А ₁(s_i) = A ₂(s_i) = 0.

Дифференциальные уравнения типового соединения с обратной связью:

А ₁(p) x ₁(t) = В ₁(p) x ₃(t);

А ₂(p) x ₂(t) = В ₂(p) x ₁(t);

x ₃(t) = f (t) x ₂(t);

y (t) = x ₁(t),

где знак «минус» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «плюс» – положительной.

Исключение внутренних переменных дает операторные полиномы дифференциального уравнения эквивалентного звена:

А _э(p) = А ₁(p) А ₂(р) B ₁(p) B ₂(р);

В_э (p) = В ₁(p) А ₂(p). (68)

Передаточная функция эквивалентного звена:

W _э(s) = . (69)

Если звенья образуют контур положительной обратной связи, то в формулах (69), (69) используется знак «минус».

Временная характеристика системы с обратной связью w _э(t) сложным образом зависит от w ₁(t) и w _э(t), поэтому ее удобнее получать обратным преобразованием Лапласа эквивалентной передаточной функции:

w _э(t) = .

Комплексная частотная характеристика системы с обратной связью также сложным образом зависит от частотных характеристик звеньев:

W _э(j w) = . (70)

Свойства системы с обратной связью определяются усилением разомкнутого контура с передаточной функцией W _p(s) = W ₁(s) + W ₂(s) на различных частотах. Если усиление контура мало, то можно пренебречь обратной связью. Действительно, по виду выражения (44) можно заключить, что на частотах, где выполняется условие

= << 1

имеет место приближенное соотношение

W _э(j w)» W ₁(j w).

Практически усиление контура считается малым, если

L _р(w) = < – (16-20) дБ.

С другой стороны, на частотах, где выполняется условие

>> 1,

имеет место другое приближенное соотношение

W _э(j w)» .

Система в целом имеет частотную характеристику, близкую к обратной частотной характеристике звена обратной связи. Практически усиление велико, если L _р(w) > 16-20 дБ. На остальных частотах, где -16 дБ < L_P( w) < 16 дБ, необходимо пользоваться точной формулой (70) или специальными номограммами замыкания.

Рассмотрим пример системы, образованной интегрирующим звеном, охваченным единичной отрицательной обратной связью (рис.20, а). На рис.20, б изображены ЛАЧХ L ₁ и L ₂ этих звеньев. На частотах w < 0,1 с^-1 усиление контура превышает 20 дБ.

Следовательно, амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы на этих частотах определяется только свойствами звена обратной связи, т.е. замкнутая система на низких частотах с большой степенью приближения ведет себя как безынерционное звено с единичным усилением.

Напротив, на частотах w > 10 с^-1 усиление контура ниже –20 дБ. Здесь контур практически разомкнут – замкнутая система ведет себя как интегрирующее звено,

W _э(s) = .

На комплексной частоте нуля передаточной функции W_p усиление контура равно нулю, т.е. контур как бы разомкнут на соответствующей комплексной частоте. Если W _p имеет такой полюс, то в разложении W _p на сумму простейших дробей соответствующий коэффициент С_i равен нулю.

На рис.21 изображена структурная схема системы с единичной обратной связью, где звено в прямой цепи

W ₁(s) = W _p(s)