Закони управління

Законом управління називають функціональний зв’язок між помилкою в системі і управляючим впливом (управляючою величиною).

Якщо позначити: помилку , (1.1)

управляючий вплив , то закон управління визначається виразом -

. (1.2)

В системах управління застосовують наступні закони:

1. Пропорційний закон управління (П-закон).

(1.3)

Системи де застосовують пропорційний закон управління називають статичними системами управління, в таких системах помилка пропорційна величині збурюючого впливу.

2. Інтегральний закон управління (І-закон).

(1.4)

Системи з інтегральним законом управління називають астатичними системами.

Помилки в таких системах не залежать від величини збурюючого впливу і визначається нечутливістю системи.

3. Пропорційно-інтегральний закон управління (ПІ-закон).

(1.5)

Системи називаються ізодромними системами управління.

4. Диференціальний закон управління (Д-закон).

(1.6)

Закон застосовується в поєднанні з П і ПІ законом.

5. Пропорційно-диференціальний закон

(1.7)

6. Пропорційно-інтегро-диференціальний закон

(1.8)

1.1.3. Математичний опис об’єктів управління

Для вирішення більшості задач аналізу і синтезу систем управління необхідно мати математичну модель об’єкту управління (ОУ).

Побудова математичної моделі полягає в встановленні ряду співвідношень які дозволяють знайти сигнал на виході об’єкту управління при дії вхідних впливів і початкових станах.

Модель отримують як математичне формулювання фізичних законів яким підлягає робота ОУ. В загальному виді ОУ є багатомірним має керованих процесів , … ;

вхідних впливів , … ;

зовнішніх збурюючих впливів , … .

Рис. 1.4. Структура багатомірного об’єкту управління

ОУ

Рис. 1.5. Узагальнена структура багатомірного об’єкту управління

Математичний запис фізичних законів які визначають властивості неперервного ОУ зводиться до системи нелінійних диференціальних рівнянь, які зв’язують вихідні і вхідні процеси та їх похідні. Ця система може мати дуже складну форму і може бути записана:

.

Якщо , то об’єкт називають одномірним. Якщо функції , , є лінійними відносно керованих і керуючих процесів та їх похідних, то об’єкт називають лінійним за керуванням, аналогічно визначається лінійністю за збуренням.

Тобто, якщо функції , , є лінійними відносно збурюючих і керуючих процесів та їх похідних, то об’єкт називають лінійним за збуренням.

Записана математична модель (1.9) об’єкту в сучасній теорії оптимальних та адаптивних систем отримала обмежене поширення. Найбільш часто диференціальних рівнянь (1.9) з яких -те має порядок представляють в вигляді системи з диференціальних рівнянь першого порядку кожне з яких вирішене відносно похідної. З цією метою в розгляд вводять нових змінних , ,…, які підбирають таким чином, щоб систему (1.9) можна було подати в формі:

(1.10)

Цю систему називають нормальною формою Коші.

1.2. Мета і задача управління

Введемо для розгляду -мірну систему координат по осях якої будемо відкладати величини .

Графічно таку систему можна зобразити тільки коли (Рис. 1.6.) в інших випадках вона не піддається геометричній інтерпретації і вводиться як зручний для наступного викладу абстрактний прийом. Простір який характеризується цією системою координат називають простором станів або фазовим простором. Нехай в деякий момент часу (звичайно ) це початок відліку часу, змінні стану мають значення , або іншими словами, вектор стану рівний . Початок цього вектора знаходиться в точці простору стану, а кінець в точці . Цю точку називають зображаючою точкою.

Нехай до об’єкту управління прикладені конкретні впливи і . Підставимо ці впливи в рівняння стану об’єкту яке має вигляд

(1.11)

Де позначено:

- -мірний вектор стану з компонентами

- -мірний вектор управління з компонентами

- -мірний вектор керованих процесів з складовими

- -мірна вектор-функція з компонентами

- -мірна вектор-функція з компонентами

векторна функція скалярного аргументу – це функція в якої залежна змінна є вектором а аргумент набуває дійсних, іноді комплексних значень:

Якщо тепер вирішити це рівняння при початкових умовах , то отримаємо рішення:

, (1.12)

яке залежить від всіх впливів і початкових умов. Цьому рішенню кожному значенню в просторі станів буде відповідати певна точка. Якщо ці точки з’єднати то отримаємо криву яка називається траєкторією руху об’єкту. Умовно можна прийняти, що точка в часі рухається в просторі станів, а слід який вона залишає є траєкторією руху об’єкту. Допустимо, що в момент часу на об’єкт подається управління , тобто в момент починається управління. В реальному об’єкті управління за рахунок його конструктивних особливостей на його вхід не можуть подаватися довільні управляючі впливи. Реальні управління мають обмеження, як приклад

=const; (1.13)

Сукупність обмежень формує область можливих значень управляючих впливів. Позначимо цю область символом і назвемо цю область областю допустимих управлінь. Реально управління які надходять на вхід об’єкту управління повинні належати області допустимих управлінь тобто

(1.14)

В цьому випадку управління називають допустимими, і як правило вони є кусково-неперервними функціями. Аналогічно компоненти вектора станів … в загальному випадку також мають певні обмеження. Це значить що вектор в просторі станів не повинен виходити за межі деякої області , яка називається областю допустимих станів, скорочено

(1.15)

Нехай в області можна виділити деяку підобласть станів () які для нас є бажаними. Мета управління полягає в тому щоб перевести об’єкт з початкового стану , в якому він знаходився в момент часу , в кінцевий стан , який належить підобласті , області допустимих станів. Тобто .

Момент часу , який відповідає моменту попадання об’єкту в бажаний кінцевий стан, може бути невідомим. Для досягнення мети управління на вхід об’єкту необхідно подати відповідне управління. Задача управління полягає в тому, щоб в області допустимих управлінь (1.14) підібрати таке управління, при якому буде досягнута мета. Інакше кажучи треба знайти таке допустиме управління , яке визначається на часовому інтервалі (де може бути наперед невідомим), при якому рівняння ОУ при заданому початковому стані і відомому вектору мають рішення , які задовольняють обмеження (1.15) при всіх і кінцеву умову .

1.3. Задача оптимального управління

1.3.1. Критерії якості управління

Щоб судити про степінь відповідності системи вимогам які до неї ставляться, вводяться числові показники, які відображають якісну сторону процесу руху до мети управління і які формують поняття якості управління. Формально якість управління можна описати двома способами:

1. В формі показників якості (значень перерегулювання, часу регулювання, встановленої помилки при типових збуреннях).

2. В формі деякого узагальненого показника, який визначається усіма процесами , , , . Якість процесу управління суттєво залежить від конкретного виду управління . При кожному управлінні на якому досягається мета управління, якість управління буде приймати різні значення.

При другому підході якість управління описується деяким узагальненим показником якості який є мірою ефективності досягнення мети управління засобами конкретного управління . Узагальнений показник якості - це числова характеристика яка в загальному випадку залежить від , , , , так що конкретному закону управління і процесам , відповідають певні показники якості.

(1.16)

Найбільш часто узагальнений показник якості є функціонал і його можна записати в вигляді інтегрального відношення

Де функція визначає конкретний фізичний смисл показника якості.

Введення цього показника якості дозволяє сформулювати задачу оптимального управління, яка формулюється:

(1.17)

В області допустимих управлінь треба знайти таке допустиме управління , на якому показник якості (13) при заданих , досягає екстремального значення,

а об’єкт управління переводиться з початкового стану Y(t₀) в кінцевий стан

залишаючись в області допустимих станів (15) при всіх

Умову (1.17) називають критерієм оптимальності (цей термін часто застосовують і до самого показника). Управління яке задовольняє умову задачі називають оптимальним управлінням. Рішення рівняння ОУ, яке відповідає оптимальному управлінню, називають оптимальною траєкторією руху ОУ. Систему управління, яка з позиції критерію (1.17) є найкращою серед всіх інших систем, називають оптимальною.