Свойства матриц

1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на

число λ называется матрица В = λА, элементы которой для i = 1, 2,.., m; j = 1, 2,..., п.

Например, если , то .

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинаково­го размера т× п называется матрица С =А + В, элементы кото­рой c_ij =a_ij+b_ij для i = 1, 2,..., т; j = 1, 2,..., п (т.е. матрицы складываются поэлементно).

Например, , , .

3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового разме­ра определяется через предыдущие операции: А - В = А + (-1) • В.

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (в этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В). Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой c_ij равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ikb_kj= , i=1,2,…,m; j=1,2,…, n.

Например: Вычислите произведение матриц А и В, где ; .

Решение: Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): .

Вычислим элементы матрицы-произведения С, умножая элементы каждой строки матрицы А на соответствующие элементы столбцов матрицы В следующим образом: .

Получаем .

5. Возведение в степень. Целой положительной степенью квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е. .

Заметим, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.

6. Транспонирование матрицы – переход матрицы А к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Например: , .

Пример 1. Найти определительматрицы А: .

Решение: a) найдем определитель по правилу треугольника или правилу Сарруса: 1·1·1+2·2·0+5·3·0-0·1·0-5·21-3·2·1=1-10-6=-15.

b) для нахождения определителя матрицы, при использовании разложения по элементам 1 строки, нужны алгебраические дополнения А₁₁, А₁₂, А₁₃, а для их вычисления предварительно найдем соответствующие миноры М₁₁, М₁₂, М₁₃: , , ; посчитаем алгебраические дополнения элементов первой строки А₁₁=(-1)¹⁺¹·М₁₁=-5, А₁₂=(-1)¹⁺²·М₁₂=-5, А₁₃=(-1)¹⁺³·М₁₃=15.

Теперь по теореме Лапласа находим определитель: 1·(-5)+2·(-5)+0·15=

-5-10=-15.

Пример 2. Для заданной матрицы найдем обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений: .

Решение: Найдем определитель матрицы , так как , то матрица А – невырожденная и обратная матрица А^-1 существует и единственна.

Находим алгебраические дополнения: , ,

, ,

, , , , .

Составим матрицу из алгебраических дополнений А^': , транспонируем полученную матрицу: , находим обратную матрицу по формуле: . Проверить правильность вычисления обратной матрицы возможно по формуле: , где – единичная матрица 3-го порядка.

Пример 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера:

Решение: по формулам Крамера: (j=1,2,…,n)

Найдем определитель , так как определитель отличен от нуля, то по теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц ∆₁, ∆₂, ∆₃, полученных из матрицы А заменой соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов: , , .

Теперь по формулам Крамера: , . . Ответ: (1; 0; -2).

Система m линейных уравнений с n переменными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы (А‌‌|В) (теорема Кронекера — Капелли).

Пусть r (А) =r, r < п; r переменных x₁, x₂, x_r называются ос­новными (базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные п-r пере­менных называются неосновными (или свободными).

Решение системы, в котором все п – r неосновных перемен­ных равны нулю, называется базисным.

Совместная система имеет: единственное решение, если r = п, и бесконечное множество решений, если г < n; число базисных решений конечно и не превосходит .

Пример 4. Проверить систему линейных уравнений на совместность. Найти решения системы линейных уравнений.

Решение: преобразуем расширенную матрицу системы: умножим элементы первой строки на 2 и -5 b и прибавим их соответственно к элементам второй и третьей строки, чтобы под элементом а₁₁ образовалась «ступенька» их нулей. Затем прибавим к элементам третьей строки элементы второй строки.

~ ~

Следовательно, ранг матрицы системы r(A)=2. Определитель при переменных x₁, x₂ (базисный минор) отличен от нуля: , эти переменные берем за основные. Остальные, неосновные переменные x₃, x₄ (их коэффициентами) переносим в правые части уравнений: , откуда x₁=-2x₂+3x₃+2x₄+1=-2·(5x₃+x₄+5)+3x₃+2x₄+1=

=-10x₃-2x₄-10+3x₃+2x₄+1=-7x₃-9.

Задавая неосновным переменным произвольные значения x₃=c₁, x₄=c_2, найдем бесконечное множество решений системы: (x₁=-7c₁-9, x₂=5c₁+c₂+5, x₃=c₁, x₄=c₂).

Если - базис в пространстве и , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.

Пример 5. Разложить вектор b по базису а₁, а₂, а₃, если b = (-4; 5; -16), a₁ = (3; -5; 2), a₂ = (4; 5; 1), a₃ =(-3; 0; -4).

Решение: Разложением вектора b по базису а₁, а₂, а₃ является _, где α, β, γ – некоторые числа.

Следовательно , приравнивая коэффициенты при единичных векторах (ортах) , получим систему: , преобразуем второе уравнение, , . Выразим из первого и третьего уравнения β: , , подставим в уравнения значение β: , преобразуем первое уравнение: , , . Теперь преобразуем второе уравнение: , . Получим систему: , выразим из первого γ и подставим его во второе уравнение: , , получим и ; так как , получаем ; для расчета γ воспользуемся первым уравнением: , , .

Ответ: .

Расстояние между двумя точками , - определяется формулой

.

Пусть на плоскости заданы две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x_2, y₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

или

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на его высоту , где BD- высота, опущенная к основанию AC.

Пример 6. Найтидлину АС, еслиА(7;9), С(3;6).

Решение: для нахождения расстояния между двумя точками , воспользуемся формулой , тогда .

Ответ: 5.

Пример 7. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и

В(3, 4).

Решение: применяя записанную выше формулу, получаем:

Ответ: x-y+1=0

Пример 8. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Решение: находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. Их условия перпендикулярности прямых , получаем k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17.

Ответ: .

При выполнении заданий контрольной работы опирайтесь на выше рассмотренные примеры. Для выполнения 1 задания смотрите свойства матриц. Для 2 задания рассмотрите пример №1. Для 3 задания – пример №2 и так далее. При выполнении последнего задания смотрите примеры № 6,7,8.

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ВАРИАНТ № 1

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(4;5), B(2;-2), C(7;-4)

ВАРИАНТ № 2

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(-2;-1), B(7;3), C(4;-3)

ВАРИАНТ № 3

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(2;-5), B(-3;-4), C(1;0)

ВАРИАНТ № 4

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(-2;5), B(3;4), C(4;-2)

ВАРИАНТ № 5

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(2;1), B(-7;-3), C(-4;3)

ВАРИАНТ № 6

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(3;5), B(-1;1), C(1;-1)

ВАРИАНТ № 7

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

7. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

8. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(3;2), B(2;-5), C(-6;-1)

ВАРИАНТ № 8

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(3;2), B(-5;4), C(-1;-6)

ВАРИАНТ № 9

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(2;5), B(-5;2), C(-1;1)

ВАРИАНТ № 10

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(3;4), B(6;7), C(1;1)

ВАРИАНТ № 11

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(4;-5), B(2;2), C(7;4)

ВАРИАНТ № 12

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(3;4), B(1;-1), C(7;0)

ВАРИАНТ № 13

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(3;-4), B(2;1), C(1;7)

ВАРИАНТ № 14

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(2;1), B(-7;3), C(0;-3)

ВАРИАНТ № 15

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(-4;5), B(4;1), C(0;-1)

ВАРИАНТ № 16

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(-2;-1), B(7;3), C(4;-3)

ВАРИАНТ № 17

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(2;1), B(-7;-3), C(-4;3)

ВАРИАНТ № 18

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(3;2), B(2;-5), C(-6;-1)

ВАРИАНТ № 19

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника/ Вершины треугольника заданы точками: A(3;4), B(6;7), C(1;1)

ВАРИАНТ № 20

1. Вычислить

2. Найти определитель матрицы А и указанные минор и алгебраическое дополнение к элементам матрицы

3. Для заданной матрицы А найти обратную матрицу

4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

5. Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных.

6. Разложить вектор b по базису a₁, a₂, a₃

, , , ;

7. В треугольнике ABC найти: а) длину AB; б) уравнение и длину высоты CD; в) площадь треугольника. Вершины треугольника заданы точками: A(4;5), B(2;-2), C(7;-4)