Классификация задач. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно неизвестной функции двух независимых переменных

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно неизвестной функции двух независимых переменных .

(1)

где a, b, c, d, e, f, g – известные функции от x и y, в частности, константы. В этом случае (1) называется уравнением с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение – однородное.

Пусть – дискриминант квадратичной формы , соответствующей дифференциальному оператору второго порядка в левой части (1).

Уравнение (1) называется эллиптическим в точке , если ; гиперболическим, если ; параболическим, если .

При помощи невырожденного преобразования уравнение (1) приводится к одному из следующих видов:

- эллиптический;

- гиперболический;

- параболический.

Постановка задач. При математическом описании физического процесса надо, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения имеют бесчисленное множество решений, поэтому для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия. Они формулируются в виде так называемых краевых и начальных условий, которые зависят от типа уравнения.