Принятие оптимального решения с использованием метода дерева решений

Специфическим графическим инструментом анализа проблем­ных ситуаций являются, так называемые, деревья решений. Тер­мин получил свое название от древообразующей структуры схемы.

С помощью этого метода решается целый ряд задач, когда имеются два или более последовательных множества решений, причем, последующие решения основываются на результатах пре­дыдущих состояний среды, т.е. появляется цепочка решений, вы­текающих одно из другого. Подобные задачи проще решать с ис­пользованием дерева решений, которое представляет собой гра­фическое изображение последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для всевозможных комбинаций.

Для упрощения применения этого метода разобьем его на не­сколько этапов.

На первом этапе формулируем задачу. Отбрасываем не отно­сящиеся к проблеме факторы, а оставшиеся подразделяем на су­щественные и несущественные. Далее: определяем возможности сбора информации для экспериментирования и реальных дей­ствий; составляем перечень событий, которые с определенной ве­роятностью могут произойти: устанавливаем временной порядок расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступная информация, и тех последовательных действий, ко­торые можно предпринять.

На втором этапе строим дерево решений. Оно состоит из двух основных частей: «решений» и «вероятностных событий». Они представлены квадратами (рис. 3.1). Эти решения и вероятност­ные события связаны, что видно из последующих примеров.

Рис. 3.1. Составные части дерева решений

Суть третьего этапа состоит в оценке вероятностей состояний среды, т.е. сопоставлении шансов возникновения каждого конк­ретного события.

Установление выигрышей (или проигрышей, как выигры­шей со знаком минус) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) состояний среды составляют четвертый этап.

На пятом этапе решается задача.

Дерево решений состоит из ряда узлов и исходящих из них вет­вей. Квадраты обозначают пункты принятия решений (или воз­можные события), а дуги соответствуют переходам между логи­чески связанными решениями и случайными событиями. Из вер­шин — решения (квадратов) исходит столько дуг, сколько имеется вариантов (альтернатив), выбор конкретной дуги (вариант реше­ния) осуществляется ЛПР. Из вершины — события также может исходить несколько дуг. Но здесь уже выбор осуществляется слу­чайным образом в соответствии с заданными вероятностями от­дельных исходов.

После того, как дерево решения построено, оно анализирует­ся справа налево, т.е. начинать надо с последнего принятого ре­шения. Для каждого решения выбирается альтернатива с наиболь­шим показателем отдачи (или с наименьшими затратами). Если за принятием решения следует несколько возможных вариантов событий, то выбирается альтернатива с наибольшей предполага­емой прибылью (или с наименьшей предполагаемой величиной затрат).

Рассмотрим задачу максимизации ожидаемой прибыли от акций.

Предположим, что мы владеем акциями стоимостью 1000 у.е. Мы должны принять решение относительно того, держать ли ак­ции, продать их все или купить еще акции на сумму 500 у.е. Ве­роятность 20%-го роста курсовой стоимости акции составляет 0,6, а вероятность снижения курсовой стоимости на 20% — 0,4. Какое решение необходимо принять с тем, чтобы максимизировать ожи­даемую прибыль?

Сначала необходимо решить, что делать с акциями: купить еще, все продать или все держать. Это отображено с помощью дерева решений на рис. 3.2. Диаграмма содержит величину дохо­дов или расходов в случае принятия того или иного решения. На­пример, вариант «продажи» даст доход в 1000 у.е. (показан как + 1000 на дереве). В противоположность этому, вариант «покуп­ки» принесет расходы в сумме 500 у.е. (показаны как — 500 на дереве). Если мы продадим акции, тогда их у нас будет ноль. Если мы просто будем держать акции, то в случае 20%-ного подъема на рынке их стоимость составит 1200 у.е., а в случает 20%-ного спа­да — 800 у.е. В другом случае, после покупки акций еще на 500 у.е., при подъеме рынка мы окажемся обладателями акций стоимос­тью 1800 у.е., а при падении — стоимостью 1200 у.е. Данные зна­чения указаны в конце каждой ветви в правой части дерева реше­ний (рис. 3.3). Дерево также показывает вероятности возможных событий (т.е. рост или падение курсовой стоимости акций), а также денежные средства, затраченные или полученные при этом. Например, покупка акции стоит 500 у.е. (т.е. в данной точке диаг­раммы указано — 500 у.е.). Аналогично, продажа акций даст до­ход в 1000 у.е., и это указано рядом с соответствующей ветвью дерева.

Рис. 3.2. Покупать, продавать или ни то, ни другое

Рис. 3.3. Дерево решений

Начиная с правой стороны и двигаясь влево, производится расчет ожидаемых значений, как это показано на рис. 3.4. Таким образом, ожидаемое значение в блоке вероятностных событий А рассчитывается путем умножения каждой вероятности на значение в конце ветви, т.е. ожидаемое значение в блоке А составляет 0,6 х 1800 + 0,4 х 1200 = 1560 у.е. Аналогично, ожидаемое значе­ние для блока Б составляет 0,6 х 1200 + 0,4 х 800 = 1040 у.е.

Рис. 3.4. Ожидаемые значения

И наконец, можно принимать решение на основании вывода ожидаемых значений по соответствующим ветвям обратно к блоку решений В. Три возможных пути обратно к блоку В дают сле­дующие значения:

Вариант 1: 1560 - 500 = 1060 у.е.

Вариант 2: 0 + 1000 = 1000 у.е.

Вариант 3: 1040 + 0 = 1040 у.е.

Следовательно, на основании данного критерия с целью макси­мизации ожидаемой стоимости акций мы предпочтем вариант 1. Таким образом, мы решим купить еще акций на сумму в 500 у.е., что даст нам ожидаемую чистую прибыль в 1060 у.е. Это значение показано в блоке В, а путь решения выделен, как показано на рис. 3.4. Следует отметить, что этот простой способ принятия ре­шений, основанный на максимизации ожидаемой отдачи, может не всегда оказаться приемлемым. Например, также необходимо учитывать факторы риска, о чем мы будем говорить в следующем примере.

С помощью дерева решений рассмотрим задачу выбора опти­мального проекта реконструкции фабрики — химчистки.

Руководство компании решает реконструировать фабрику — химчистки по одному из трех проектов. Размер выигрыша, кото­рый компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного состояния рынка (табл. 3.4).

Таблица 3.4

Таблица проектов реконструкции

Номер стратегии	Действия компании	Выигрыши, усл. руб., при состоянии экономической среды
благоприятному	неблагоприятному
	По 1-му проекту		- 80000
	По 2-му проекту		- 150000
	По 3-му проекту		- 40000

На основе данной таблицы выигрышей (потерь) построим де­рево решений (рис. 3.5)

Рис. 3.5. Дерево решений без дополнительного обследования конъюнктуры рынка

Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой вершины дерева (при движении справа налево) ожидае­мых денежных оценок, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение ожидаемой денежной оценки (ОДО). ОДО — это средний выиг­рыш в игре, которая рассчитывается как сумма произведений раз­меров выигрышей на вероятности этих выигрышей.

Определяем ОДО:

для 1-й вершины ОДО₁ = 150000 • 0,5 + (- 80000) • 0,5 = 35000 усл. руб.;

для 2-й вершины ОДО₂ = 200000 • 0,5 + (- 150000) • 0,5 = 25000 усл. руб.;

для 3-й вершины ОДО₃ = 100000 • 0,5 + (- 40000) • 0,5 = 30000 усл. руб.

Так как истинные вероятности благоприятного и неблагопри­ятного состояний экономической среды нам неизвестны, то в со­ответствии с правилом Лапласа равновозможности принимаем наличие состояний с вероятностями 0,5 удачи и 0,5 неудачи.

Из приведенного расчета видим, что наиболее целесообразно выбрать первый проект, а вторую и третью ветви (стратегии) решений можно отбросить. ОДО наилучшего решения равна 35000 усл. руб.

Но на этом исследования не заканчиваются. Руководству ком­пании стало известно, что можно провести дополнительное ис­следование рынка, причем, предоставляемая услуга обойдется компании в 12000 усл. руб. Руководство понимает, что дополни­тельное исследование по-прежнему не способно дать точной ин­формации, но оно поможет уточнить ожидаемые оценки конъюн­ктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей.

Известно, что фирма, проводящая дополнительные исследо­вания, способна уточнить значения вероятностей благоприятно­го или неблагоприятного исхода. Возможности фирмы в виде ус­ловных вероятностей благоприятности и неблагоприятности рын­ка представлены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Прогноз фирмы	Фактически
благоприятный	неблагоприятный
Благоприятный	0,81	0,19
Неблагоприятный	0,23	0,77

Например, когда фирма утверждает, что рынок благоприят­ный, то с вероятностью 0,81 этот прогноз оправдывается (с вероятностью 0,19 могут возникнуть неблагоприятные условия), прогноз о неблагоприятности рынка оправдывается с вероятнос­тью 0,77.

Компания заказала фирме прогноз состояния рынка и фирма утверждает, что ситуация будет благоприятной с вероятностью 0,42 (дерево решений изображено в середине рис. 3.6) и ситуация будет неблагоприятной с вероятностью 0,58 (дерево решений по­строено на рис. 3.6 внизу) При построении дерева решений разви­тие событий происходит от корня дерева к исходам, а расчет прибыли выполняется от конечных состояний к начальным. Из ана­лиза решения следует, что проведение дополнительных исследо­ваний конъюнктуры рынка существенно уточняет принимаемое решение. Если фирма прогнозирует благоприятную ситуацию на рынке, то целесообразно проводить реконструкцию по второму проекту, если прогноз неблагоприятный — по третьему проекту.

Рис. 3.6. Дерево решений при дополнительном обследовании рынка

При отсутствии точной информации (верхнее дерево ре­шений) максимальная ожидаемая денежная оценка равна ОДО = 35000 усл. руб.

Если точная информация об истинном состоянии рынка будет благоприятной (ОДО = 200000 усл. руб., табл. 3.4) принимается второй проект, если неблагоприятной (ОДО =

-40000). Тогда ОДО точной информации равна:

ОДО_т.и. = 200000 • 0,5 - 40000 • 0,5 = 80000 усл. руб.

и ожидаемая ценность точной информации составит:

ОЦ_т.и. = ОДО_т.и. - ОДО = 80000 - 35000 = 45000.

Значение ОЦ_т.и. показывает, какую максимальную цену долж­на быть готова заплатить компания за точную информацию об ис­тинном состоянии рынка в тот момент, когда ей это необходимо.