Дедуктивное обобщение

и принцип абстракции [1]

Статья первая

Вопрос, обсуждаемый ниже, Э. Бет называет частным, но важным вопросом, которым, по его словам, “до сих пор никто не занимался и не дал удовлетворительной трактовки”[2].

Что касается удовлетворительной трактовки, то Э. Бет, вероятно, прав, хотя трудно найти философски значимую проблему, которая получила бы общепринятое толкование. Но, говоря, что этим вопросом до сих пор никто не занимался, Э. Бет, конечно, неправ. Он сам указывает на некоторые исторические корни этого вопроса. Правда, ограничиваясь темой общих понятий, Э. Бет ведёт его родословную и общую формулировку от Локка и Беркли. Но действительная история всё же восходит к античности, хотя и тогда он обсуждался преимущественно в контексте классической философской темы универсалий. Первая дошедшая до нас попытка его решения принадлежит Аристотелю.

А суть дела в философском контексте сводится к объяснению вопроса, каким образом “частное” может оказаться эквивалентом “общего”. В логическом же контексте она сводится к обоснованию общезначимости утверждений (в частности, математических теорем), доказанных первоначально на единичных (конкретных) примерах, для какого-либо частного случая, подтверждающего общее утверждение. Практика таких доказательств переросла со временем в методологический приём: распространять (переносить) на все объекты определенного класса утверждения (высказывания, теоремы), правильность которых установлена (доказана) для произвольно взятого единичного объекта данного класса, даже если при этом и остаётся невыясненным вопрос о логической законности (обоснованности) такого обобщающего перехода. Именно в связи с последним Б. Рассел заметил, что вопросы такого рода “очень трудны и исторически очень важны”[3].

На первый взгляд кажется, что схема получения общих утверждений в этом случае совпадает с неполной индукцией, так что вопрос её обоснования сводится к вопросу обоснования индуктивных умозаключений вообще. Но такую позицию принять затруднительно, когда речь идёт о дедуктивных теориях. Основной принцип любой дедуктивной теории — dictum de omni et de nullo. Обратное этому принципу не имеет собственно логического оправдания.

Тем не менее и в дедуктивных теориях говорят об “общем приёме решения”, о решении задачи в “общем виде”, о доказательстве или рассуждении, проведённых в “общей форме”, когда эта общность индуцирована рассмотрением такого частного случая, который вселяет уверенность в корректность обобщения.

Иначе говоря, в рассуждениях на доказательство нередко и как будто бы сознательно выбирают дедуктивно неоправданный путь от частного к общему, полагаясь, по-видимому, на “нашу способность убеждаться в истинности общих высказываний на основании ограниченного опыта”[4].

И такая практика восходит к античности. К примеру, в “Началах” Евклида доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника начинается словами: “Пусть треугольник будет АВС...” и заканчивается словами: ”Значит, во всяком треугольнике...”[5] Очевидно, что здесь обобщающий переход не в одной только форме выражения. И аналогично Евклид доказывает некоторые другие теоремы, не заботясь о том, что в таком способе доказательства имеется шаг, требующий логического восполнения.

Известно, что та форма изложения геометрии, которую ей придал Евклид, на протяжении столетий служила моделью дедуктивной теории и считалась “абстрактно-логической”. Она казалась не только образцом дедуктивной теории, но и образцом логического метода доказательства вообще. Вот яркий пассаж такого отношения к автору “Начал” и его теории: “великий адвокат геометрической истины каждый раз предусматривает все мельчайшие возражения “противной стороны”, для которой опущение хотя бы самого очевидного силлогизма, хотя бы одной логической формальности (курсив мой — М.Н.) даст повод к кассации всего доказательства”[6].

Многие бы сказали, что в этом пассаже выражен скорее пиетет к традиции, чем признание факта ex professo, ведь с точки зрения современных требований к логической строгости доказательств теория античных геометров далека от дедуктивного идеала. Однако кассации евклидовского доказательства теоремы о сумме внутренних углов треугольника вряд ли потребует и современный геометр. Как заметил Э. Бет, “современный геометр в любом случае вначале сосредоточится на созерцании частной фигуры и только после этого сделает необходимое обобщение полученного результата”[7]. Так что и современный геометр всё ещё следует “доказывающей манере” древних — подчинять доказательства не только формально-логическому порядку, но и наглядной очевидности[8].

Говорят, что “Элементы” писались Евклидом в эпоху “организации научного метода”, когда дедуктивный взгляд на науку только формировался под влиянием философии Платона и Аристотеля. Но Евклид мог и не задаваться вопросом, насколько его способы доказательства отвечают методологическим установкам той или иной философской школы, поскольку античной наукой равным образом допускались и аксиоматический и конструктивный (генетический) способы организации теории. Та часть доказательства, которая называлась “изложением” (ekthesis), традиционно предполагала законную роль наглядной геометрии — обращение к примеру (exemplum), к чертежу, к пространственной интуиции (которые служили своего рода базисом индукции), чтобы затем, убедившись в справедливости частного случая (в справедливости рассуждения in concreto) посредством абстракции вернуться к общему положению, сформулированному в теореме.

Законность обобщения казалась при этом очевидной, поскольку доказательство, хотя оно и велось с опорой на созерцание вполне определённой частной фигуры, само не основывалось на “материальном” эксперименте — оно не являлось опытным или эмпирическим доказательством в собственном смысле, как в случаях измерения, складывания углов, перегибания листа (доказательство на бумажном треугольнике) или использовании транспортира. Теорема относилась к идеальным объектам теории и устанавливалась, по выражению Прокла, невещественным и разумным путём.

Ссылка на идеальные объекты теории, на её экзистенциальный характер в определённом смысле устраняла эмпирический элемент из состава доказательства и — в этом смысле — его философскую индуктивную суть[9]. Но она не устраняла логическую суть вопроса о том, в каких случаях в дедуктивной теории для доказательства её теорем можно пользоваться примером или применять методы заключения от частного к общему, и можно ли при этом считать, что такие методы не нарушают дедуктивный характер теории.

Отвечая сегодня на этот вопрос, стоит, конечно, напомнить его историю. Поэтому я начну с поимённого исторического экскурса, следуя отчасти порядку обсуждения, что принят у Э. Бета.

Платон

Эмпиризм и платонизм — вот два беспримесных типа философской методологии науки, которые завещал нам античный гений. Эмпирики верят в наблюдение и опыт, платоники — в рассуждение и логику. Платоники видят в отдельных единичных вещах (в особенном) лишь тени абстракций. Эмпирики, напротив, в абстракциях видят лишь тени отдельных единичных вещей. Перефразируя, можно сказать, что “преодоление изнуряющей неопределённости этой альтернативы превращает философию в более высокое занятие, чем наука или религия”[10].

Возможно, Платону одному из первых принадлежит осознание несовершенства индуктивных доказательств и сократовского метода познания путём анализа наводящих примеров. Правда, понятия чисто дедуктивного доказательства, основанного на законах и правилах логики, Платон не имел. Но его основная концепция “познания в понятиях”, применённая к математике, уже формировала определённую философию математики (не случайно в наше время названную платонизмом), резко противопоставленную эмпиризму и даже более поздним вариантам концептуализма.

Согласно Платону, учение о доказательстве, то есть о том, как наши суждения должны связываться между собой и как они вытекают “сами собой одно из другого”[11] — это труднейшая часть философии. Платон называет эту часть диалектикой. Её область — мышление в двух формах его пути к познанию истины (всеобщего): научной — от гипотез к понятиям (к относительному знанию о всеобщем) и философской — в движении мысли в сфере чистых понятий (к абсолютному знанию о всеобщем).

Хотя в науке речь не идёт об эмпирическом (частном) как таковом, поскольку предмет науки — данное в общих понятиях, всё же Платон полагает, что возможности всякой науки ограничены допущениями (гипотезами) о существовании эмпирических объектов низшего уровня. Поэтому научная мысль “не в состоянии выйти за пределы предполагаемого и пользуется лишь образными подобиями, выраженными в низших вещах, в особенности тех, в которых она находит и почитает более отчётливое выражение[12]. Например, при доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника (на плоскости) любой геометр, конечно же, использует чертёж, так как он даёт ясное и наглядное представление о содержании теоремы. Однако именно в силу этой наглядной и очевидной для наших чувств предпосылки геометрическая общезначимость объявленного результата доказательства остаётся необоснованной, пока мы эту предпосылку не исключили. По существу все общие результаты науки (в том числе и математики) имеют вид номологических условных суждений, в которых посылками служат гипотезы ad discendum et ad demonstrandum.

Неоспоримо, что бремя перехода от аксиом к теоремам лежит на самой науке. Но также неоспоримо, что бремя обоснования истинности аксиом лежит на философии. И определённый философский ответ на вопрос о том, каким образом частное может оказаться эквивалентом общего, даёт только теория идей. Именно она позволяет Платону сказать, что когда геометры “пользуются чертежами, их мысль обращена не на чертёж, а на те фигуры, подобием которых они служат. Выводы свои они делают только для четырёхугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали которую они начертили. Так и во всём остальном”, конкретные эмпирические объекты “служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором”[13].

Конечно же, Платон, как ученик Сократа, принимал его метод индукции. Но он не видел логического пути от частного к общему. Место логики у него заступает механизм воспоминания (анамнез), возвращения к тому, что было, есть и будет до всякого познания, и для чего частное служит лишь побудительным мотивом. Поэтому Платон не стремится к упрочению абстракций за счёт примеров. Доказательство на примере — это формальный акт в постижении общей истины, которая заключена в общих понятиях, а не в том, чего можно коснуться “при помощи того или иного из чувств”[14].

Создавая свою “методологию доказательства” Платон не отвергал конструктивный метод, основанный на построении фигур (пусть даже и идеальными циркулем и линейкой), но и не поощрял занятия этим методом, поскольку считал, что здесь нет восхождения к познанию геометрических истин “самих по себе”, то есть восхождения к идеям. В наше время эту мысль Платона повторил А. Пуанкаре, говоря, что конструктивный метод не позволяет нам подняться вверх, к свойствам родовых понятий, “а оставляет всё на том же уровне” абстракции[15].