Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1. (о сохранении знака непрерывной функции).

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на (а;b) и в точке х₀ значение функции f(x₀) 0. Тогда существует окрестность точки x₀, в которой f(x) сохраняет знак.

Теорема 2. (I т. Больцано-Коши).

y

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [а;b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда существует такая точка с [а;b], что f(с)=0.

x

f(a)

f(b)

b

c

a

Замечание 1: Если выполняются условия этой теоремы, то график непрерывной функции обязательно пересечен осью ох.

Замечание 2: Если отказаться от условия непрерывности, то теорема не выполняется.

Теорема 3. (II т. Больцано-Коши о промежуточных значениях).

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [а;b], f(a)=А, f(b)=В. Тогда f(x) принимает все промежуточные значения между А и В.

Лемма о вложенных отрезках:

Дана последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, т.е.:

[a₁;b₁] [a₂;b₂] [a₃;b₃] … [a_n;b_n] ….

Тогда существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.

a₁ a₂ a₃... a_n… b_n... b₃ b₂ b₁

Рассмотрим последовательность левых концов:

{a_n} возрастает и ограничена сверху числом b₁.

По теореме о пределе монотонной и ограниченной последовательности существует .

Рассмотрим последовательность правых концов:

{b_n} убывает и ограничена снизу числом a_n

Рассмотрим С₁ – С₂= - = С₁ = С₂ Существует единственная точкка, принадлежащая всем отрезкам.

Теорема 4. (I т. Вейерштрасса).

Пусть функция f(x) непрерывна на [а;b]. Тогда f(x) ограничена на [а;b].

Док-во:

Предположим противное: функция f(x) не ограничена на [а;b]. Разделим [а;b] пополам и выберем ту часть, на которой f(x) не ограничена. Разделим эту часть пополам и выберем половину, на которой функция не ограничена и т.д.

Получим последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю.

Тогда по лемме о вложенных отрезках существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, такая, что в окрестности точки С функция f(x) не ограничена.

По условию теоремы f(x) непрерывна на [а;b] f(x) непрерывна в точке С.

По первому определению непрерывности .

По определению предела: такое, что из неравенства

Положим =1 .

Выберем М=max() f(x) ограничена в окрестности точки С.

Ч.т.д.

Теорема 5. (II т. Вейерштрасса).

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b]. Тогда она принимает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значения.

x

y

fнаиб

b

a

fнаим