Основная задача динамики и методы ее решения для частицы, системы частиц и твердого тела

Основные понятия, законы, соотношения

Масса. Импульс. Сила. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Второй закон Ньютона (две формулировки). Третий закон Ньютона.

Центр масс системы частиц. Движение центра масс твердого тела.

Момент силы, плечо силы. Момент импульса. Уравнение моментов. Момент инерции тела относительно оси. Уравнение динамики вращательно­го движения твердого тела относительно неподвижной оси.

[1] §§ 6, 8, 10, 30, 31; [2] §§ 5-7, 9, 16, 18, 19.

Основная задача динамики заключается в определении механического состояния системы в произвольный момент времени по заданным силам и состоянию системы в начальный момент времени.

Метод решения основной задачи динамики базируется на применении соответствующих рассматриваемой системе законов динамики. Интегриро­ванием полученных при этом уравнений движения находят зависимости Р (t) и L (t), которые показывают, как в процессе движения изменяются, соответственно, импульс и момент импульса частицы или твердого тела.

Пример 4.

Частице массой сообщена начальная скорость под уг­лом а к горизонту. Траектория полета частицы лежит в плоскости . Пре­небрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени:

а) импуль­са частицы ;

б) момента импульса частицы относительно точки бросания 0.

Решение:

Движение материальной точки подчиняется законам динамики

, (2.1)

. (2.2)

Тело, брошенное под углом к горизонту, описывает параболическую траекторию (рисунок 1).

Рисунок 1

Единственная сила, действующая на тело, - это сила тяжести, поэтому,

d p =m g ·dt (2.3)

интегрируя дифференциальное уравнение (2.3), получим:

p (t)- p ₀ = - m g t, или:

p (t) = m V ₀ - m g t (2.4)

Момент силы, по определению, равен векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы:

= .

Векторное произведение двух векторов всегда перпендикулярно плоскости, в которой лежат сомножители, в данном случае - момент силы тяжести перпендикулярен плоскости , вдоль отрицательного направления оси . Модуль момента силы равен произведению силы на плечо (кратчайшее расстояние от точки 0 до линии действия силы, которое в нашем случае равно координате тела): M= mgx(t).

Таким образом,

M (t)= - j mgx(t). (2.5)

Подставив полученное выражение в (2.2):

d L = - j mgx(t)·dt. (2.6)

Интегрированием получим искомый результат:

L (t)= - j mgV₀ t²cosα (2.7)

Второй общий метод решения задач динамики состоит в опреде­лении ускорения частицы или центра масс твердого тела. В этом случае необходимо выполнить следующие действия:

▪ выяснить, с какими телами взаимодействует рассматриваемое тело, найти величину, направление и точку приложения каждой из сил;

▪ сделать схематический рисунок и указать на нем направление каждой из приложенных сил и ускорения;

▪ выбрать инерциальную систему отсчета и записать для рассматриваемого тела уравнение динамики в векторной форме:

m a = F _{+ F ₂+...+ F _N. (2.8)

Если силы действуют не по одной прямой, то выбирают две взаимно перпендикулярные оси и . Спроектировав все векторы, входящие в векторное уравнение на эти оси, записывают второй закон Ньютона в виде двух скалярных уравнений:

ma_x = ΣF_ix,

ma_y = ΣF_iy, (2.9)

Если задано криволинейное движение, то одну из осей направляют вдоль касательной к траектории, а другую – по нормали к ней.

Если в задаче рассматривается движение системы связанных между
собой тел, то следует уравнение движения записать для каждого тела в от­дельности. Затем записывают в виде уравнений кинематические условия,
связывающие ускорения отдельных тел системы.

Проверив, совпадает ли число неизвестных с числом уравнений, решают полученную систему уравнений.

После того, как найдено ускорение частицы (или центра масс твердого
тела), определение скорости (импульса) и закона движения сводится к решению обратной задачи кинематики.