Кинематика материальной точки и твердого тела

Основные понятия, законы, соотношения

Радиус-вектор r точки, его компоненты. Закон движения частицы. Траектория движения. Векторы скорости v и ускорения а, их компоненты. Тангенциальное , нормальное и полное а ускорения. Радиус кривиз­ны траектории .

Угол поворота при вращении твердого тела. Угловая скорость ω. Угловое ускорение ε. Связь между угловой ω и линейной скоростями v, между угловым и тангенциальным ускорениями.

[1] §§2-5; [2] §§1-4.

Прямая основная задача кинематики заключается в нахождении любо­го параметра движения ( v, а, ω, ε ) по известному закону движения r = r (t) или .

Метод решения основной задачи кинематики состоит в последователь­ном применении определений кинематических величин и соотношений, свя­зывающих эти величины. Зная закон движения, можно определить любой параметр движения.

Пример 1.

Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону r (t) = 3t² i +2t j +4 k (м). Найти скорость v, ускорение а и модуль скорости v для произвольного момента времени .

Решение. Запишем компоненты радиус-вектора и получим кинематические уравнения движения:

x(t) =3 (м), y(t) =2 t (м), z(t) =4 (м)

Согласно определению, скорость – это первая производная по времени от радиус-вектора, а ее компоненты – первые производные от соответствующих координат:

v_x = (м/с); v_y = = =2 (м/с); v_z = =0.

Ускорение, согласно определению, - это первая производная по времени от скорости:

(м/с²) , .

Таким образом: v =6 t i +2 j, a =6 i.

Модуль любого вектора, как известно, равен корню квадратному из суммы его компонентов. Соответственно, модули векторов скорости и ускорения будут равны:

= (все – в м/с), a =6 (м/с²).

Пример 2.

Обратная задача кинематики заключается в определении закона движения по какому-либо известному параметру движения и заданным на­чальным условиям.

Метод решения обратной задачи также основан на применении зако­нов кинематики, но вместо дифференцирования по времени t, теперь выпол­няется интегрирование дифференциальных уравнений. Появляющиеся при этом константы интегрирования находят из начальных условий.

Пример 3.

Поезд движется прямолинейно со скоростью . Внезапно на пути возникает препятствие, и машинист включает тормозной механизм. С этого момента скорость поезда изменяется по закону , где . Каков тормозной путь поезда? Через какое время после начала торможения он остановится?

Решение:

Т.к. движение одномерное, то для нахождения закона его движения достаточно найти закон изменения одной координаты, например, . Согласно определению скорости: ,

или .

Интегрируя последнее уравнение, получим:

.

Чтобы определить константу интегрирования , воспользуемся начальными условиями: при , , которые подставим в закон движения. В результате получим , откуда следует, что .

Время торможения поезда до его остановки найдем из уравнения

, откуда .

Тормозной путь равен: .