Транспортна задача

Транспортна задача одна з найпоширеніших задач лінійного програмування. Її мета – розробка найбільш раціональних шляхів і способів транспортування однорідної продукції від постачальників до споживачів.

У загальному вигляді транспортну задачу можна сформулювати так: в m пунктах постачання А₁, А₂,…… A_m (надалі постачальники) міститься однорідна продукція у кількості відповідно а₁, а₂,….. а_m. Цю продукцію потрібно перевезти в n пункти призначення B₁, B₂,…… B_n (надалі споживачі) у кількості відповідно b₁, b₂,….. b_n. Вартість перевезення одиниці товару (тариф) із пункту А_i в пункт B_j дорівнює с_ji.

Математична модель транспортної задачі має такий вигляд:

F(x_ji)= ∑∑ x_ji с_ji→ min (4)

за умов

∑x_ji =a_i (i=1,2…..m) (5)

∑x_ji =b_j (j=1,2…..n) (6)

x_ji≥0 (i=1,2…..m; j=1,2…..n) (7)

Алгоритм і методи розв’язання транспортної задачі можна використати для знаходження розв’язку деяких економічних задач, які не мають нічого спільного з транспортуванням вантажів. У цьому разі величини тарифів перевезення с_ji мають різний зміст залежно від конкретної задачі. До таких задач належать наступні:

· Оптимальне закріплення за верстатами операцій з обробки деталей. У них с_ji означає продуктивність праці.

· Розміщення сільськогосподарських культур за ділянками землі різної врожайності.

· Оптимальні призначення або проблема вибору.

· Задача про скорочення виробництва із врахуванням загальних витрат на виготовлення і транспортування продукції

· Збільшення продуктивності автомобільного транспорту за рахунок мінімізації порожнього пробігу

Основні теореми транспортної задачі.

Означення 1. Якщо у транспортної задачі виконується умова балансу

∑b_j = ∑a_i (8)

То задача називається закритою або збалансованою.

Означення 2. Планом транспортної задачі називається сукупність величин x_ji (i=1,2…..m; j=1,2…..n), який задовольняє умови обмеження (5) – (7).

Означення 3. Опорний план транспортної задачі називається не виродженим, якщо він містить N=m+n-1 додатних елементів x_ji

Означення 4. Якщо опорний план містить менше N<m+n-1 додатних елементів, то він називається виродженим.

Означення 5. Оптимальним планом транспортної задачі називають матрицю Х^*, яка задовольняє умови задачі (5) – (7) і для якої цільова функція F набуває мінімального значення.

Теорема 1. (Необхідна і достатня умова існування розв’язку задачі ТЗ).

Транспортна задача має розв’язок тоді і тільки тоді, коли вона збалансована, тобто виконується умова (8).

Теорема 2. Для того щоб деякий план Х транспортної задачі був оптимальним необхідно і достатньо, щоб йому відповідала така система із m+n чисел u_i (i=1,2…..m) v_j (j=1,2…..n) для якої виконуються умови

v_j - u_i = с_ji для x_ji>0

v_j - u_i ≤ с_ji для x_ji=0.

Означення 6. Числа v_j та u_i називаються потенціалами строк та стовпців.

Метод північно-західного кута (діагональний.)

Побудова опорного плану задачі починають із заповнення верхньої клітинки таблиці x₁₁, в яку записують менше з двох чисел a₁ та b₁.

Далі переходять до наступної клітинки в рядку або стовпчику і заповнюють ії і т.д. Закінчують заповнювати таблицю у правій нижній клітинці.

Зауважемо, що користуючись методом північно-західного кута початковий опорний план залежить від величин a_i та b_j і зовсім не залежить від вартостей перевезення с_ji, а тому він буде далекий від оптимального.

Метод найменшої вартості.

Сутність цього методу полягає у тому, що на кожному кроці заповнюють клітинки таблиці, яка має найменшу вартість перевезеня одиниці продукції між постачальниками та споживачами.

Метод потенціалів.

Після перевірки транспортної задачі на сбалансованість та визначення початкового плану транспортної задачі приступаємо до розрахунку потенціалів строк і стовпців для заповнених кліток:

v_j - u_i = с_ji для x_ji>0 (9)

Оскільки заповнених клітинок є m+n-1, то система рівнянь (9) із m+n невідомих містить m+n-1 рівнянь. Прийнявши одне невідоме за нуль, наприклад, u₁=0, решту знаходимо.

Для побудованого опрного плану і знайдених потенціалів обчислюємо оцінки вільних клітинок:

Δ_ji =v_j - u_i - с_ji

Якщо, Δ_ji ≤0, то побудований опрний план є оптимальним.

Якщо, хоча б для однієї клітинки ця умова не виконується, то опорний план не є оптимальним і треба від нього переходити до нового опорного плану.

Перехід від одного опорного плану до іншого здійснюється заповненням клітинки, для якої порушено умови оптимальності. Якщо таких клітинрк кілька, то для заповнення вибіраютьтаку, що має найбільшє порушенняі з неї будують цикл перерозподілу.

Означення 7. Циклом у транспортної задачі називають замкнену ламану лінію, вершини якої розміщуються в заповнених клітинках таблиці, а сторонни проходять уздовж рядків і стовпчиків таблиці.

Для вибраної вільної клітинки і клітинок, що пов’язані з нею циклом, здійснюють перерозподіл продукції в межах цього циклу за такими правилами:

· Кожній вершині циклу приписують певний знак, причому вільній клітинці – знак «+», а всім іншим по черзі- знаки «-» та «+»;

· У поржню клітинку переносять менше з чисел x_ji, що стоять у клітинках зі знком «-». Одночасно це число додають до відповідних чисел, які розміщені в клітинках зі знаком «+».

Приклад. Розв’язати транспортну задачу.

						ui
vj

Питання для самоконтролю.

· Сформулюйте задачу ЛП в загальній формі.

· Сформулюйте задачу ЛП в канонічній формі.

· Сформулюйте задачу ЛП в стандартній формі.

· Запишіть задачу ЛП в матричній формі.

· Запишіть задачу ЛП в векторній формі.

· Дайте означення опорного плану задачі ЛП.

· Дайте означення опуклої множини.

· Дайте означення кутової точки.

· Дайте означення допустимого плану.

· Дайте означення оптимального плану.

· Що таке вектор нормалі цільової функції?

· Дайте означення лінії рівня цільової функції.

· В чому полягає симплекс-метод із стандартним базисом?

· Коли використовують симплекс-метод зі штучним базисом?

· Принципи заповнення симплекс-таблиці.

· Що таке розв’язувальний елемент симплекс-таблиці?

· Як перевірити опорний план на оптимальність?

· Поясніть метод Жордана-Гауса.

· Що таке штучні змінні?

· Чому транспортну задачу вирішують іншими методами, якщо це задача лінійного програмування?

· Яка транспортна задача називається закритою?

· Що робити якщо транспортна задача відкрита?

· Дайте означення опорного плану транспортної задачі.

· Коли опорний план транспортної задачі не вироджений?

· Що робити, якщо опорний план транспортної задачі вироджений?

· Дайте означення оптимального опорного плану транспортної задачі.

· Сформулюйте необхідні і достатні умови існування розв’язку транспортної задачі.

· Як построїти потенціали строк і стовпців?

· В чому полягає метод північно-західного кута?

· В чому полягає метод найменших витрат?

· Як визначити, що опорний план оптимальний?

· Дайте означення циклу перерозподілу поставок.

Тема 5. Цілочислове програмування.

Тема 6.Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.

Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці.

Тема 8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику.

Лекція 2.

Тема лекції: Задачі нелінійного програмування

Мета: ознайомити студентів з методами розв’язання задач цілочислового програмування методом Гоморі та з основними методами розв’язування задач нелінійного програмування, розв’язання задач теорії ігор та ознайомлення з методами оцінювання економічних ризиків.

План лекції

1. Постановка задач цілочислового програмування.

2. Постановка задач параметричного програмування

3. Класичні методи нелінійного програмування.

4. Постановка задачі теорії парних ігор з нульовою сумою.

5. Кількісні методи оцінки ризику. Статистичні ігри.

Література:

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.

2. Іванюта І.Д. Практикум з математичного програмування: Навчальний посібник/ І.Д. Іванюта, В.І. Рибалка, І.А. Рудоміра – Дусятська. – К.: «Слово», 2008. – 296 с.

3. Кучма М.І. Математичне програмування: приклади і задачі: Навчальний посібник/ М.І. Кучма. - Львів: «Новий Світ - 2000», 2006. – 344 с.

4. А. Черемис, Р. Юринець, О. Мищишин. Методи оптимізації в економіці. Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2006. – 152 с.

5. Ястремський О. І. Моделювання економічного ризику/О. І. Ястремський.-К.:Либідь,1992.-176с.

1. Постановка задач цілочислового програмування.

Задача цілочислового програмування формулюється так:

Z= (1)

за умов

,= b_i, i= , (2)

x_j≥0, (j= ), (3)

x_j - цілі, (j= ), (4)

умова цілочисельності (4), яка додається до звичайної задачі ЛП, суттєво ускладнює її розв’язання.

Метод Гоморі. Сутність методу Гоморі (метод відтинання) полягає у тому, що спочатку розв’язується звичайна задача ЛП без урахування вимог цілочисельності змінних. Якщо отриманий оптимальний план задачі цілочисловий, то задача розв’язана. У протилежному випадку у модель вводиться спеціальне додаткове обмеження, що враховує цілочисельність змінних і володіє такими властивостями;

- вона повинна бути лінійною;

- вона повинна відтинати знайдений оптимальний нецілочисловий план задачі;

- не повинна відтинати ні одного цілочислового плану.

Додаткове обмеження, що має перелічені вище властивості, називається правильним відтинанням.

Це додаткове обмеження вводиться до оптимального плану якщо серед компонент оптимального розв’язку яка має найбільшу дробову частину. На базі цієї змінної будується додаткове обмеження Р.Гоморі:

де - дробова частина числа,

=а-[a].