Математическая модель. Состояние однофазной СМО с абсолютно надежными обслужи­вающими приборами в любой момент времени полностью опреде­ляется числом заявок k

Состояние однофазной СМО с абсолютно надежными обслужи­вающими приборами в любой момент времени полностью опреде­ляется числом заявок k, находящихся в ней. Действительно, если k £ п, то k заявок находятся на обслуживании, очереди нет; k приборов заняты обслуживанием заявок, а n – k приборов свободны. Если k > n, то все приборы заняты (n заявок обслуживается), а k–п заявок находится в очереди.

Величина k может принимать значения k=0, 1, 2,..., N, где N = n+m, причем для СМО с отказами m =0, а для систем с неограниченной очередью т и N ®¥.

Увеличение числа заявок в системе (переход из состояния S_k в состояние S_{k+ 1}) происходит под воздействием потока заявок ин­тенсивности l, которая не зависит от k, то есть

l_{k,k+ 1} = l. (6.1)

Уменьшение числа заявок в системе (переход из состояния S_k в состояние S_{k– 1}) происходит в общем случае под воздействием потока обслуживании интенсивности m и потока уходов заявок из очереди (системы) интенсивности v, причем l_{k,k+ 1}= f (k, n, m, v), а вид этой функции определяется типом СМО.

Из сказанного следует, что однофазной СМО соответствует граф состояний (рис. 6.3), вершины которого (S ₀, S ₁, S ₂,...) образуют последовательную цепочку, и любые две соседние вершины соединены двумя встречно-направленными дугами, а процесс ее функционирования представляет собой так называемый процесс «гибели и размножения» (уменьшение и увеличение числа заявок).

Рис. 6.3. Схема однофазной СМО

Определим предельные вероятности состояний Р_k, для СМО с конечным числом состояний. Для СМО P_k, – это вероятность того, что в произвольный момент времени в системе находится ровно k заявок.

В СМО с конечным числом состояний всегда имеет место ста­ционарный режим, так как между любыми двумя вершинами гра­фа существует маршрут.

Уравнения Колмогорова имеют вид:

– состояние S ₀

l ₁₀ P ₁= l ₀₁ P ₀ (6.2)

– состояние S ₁

l ₀₁ P ₀+ l ₂₁ P ₂= l ₁₀ P ₁+ l ₁₂ P ₁;

учитывая выражение (6.10), получим

l ₂₁ P ₂= l ₁₂ P ₁ (6.3)

– состояние S ₂

l ₁₂ P ₁+ l ₃₂ P ₃= l ₂₁ P ₂+ l ₂₃ P ₂;

учитывая формулу (6.11), имеем

l ₃₂ P ₃= l ₂₃ P ₂ (6.4)

— состояние S_{k -1} (по аналогии)

l_{k,k -1} P_k = l_{k -1, k} P_{k -1} (6.5)

– состояние S_{N -1}

l_{N -1 ,N} P_{N -1}= l_{N , N -1} P_N. (6.6)

Для состояния S _N непосредственно по графу находим уравнение

l_{N -1 ,N} P_{N -1}= l_{N , N -1} P_N,

которое совпадает с уравнением (6.6).

Поэтому последнее уравнение исключаем из рассмотрения, а вместо него используем условие нормировки

. (6.7)

Для решения системы уравнений (6.2) – (6.7) выразим все вероятности через Р ₀ и получим

. (6.8)

Подставляя значения Р₀ в формулу (6.7), получим

(6.9)

Обратим внимание на структуру формул (6.8) и (6.9). В фор­муле (6.8) имеем произведение отношений интенсивностей пере­хода слева направо к интенсивностям перехода справа налево для всех переходов между начальной и рассматриваемой вершинами графа состояний. В формуле (6.9) имеем сумму этих произведе­ний, вычисленных для всех вершин графа .

Подставляя в формулы (6.8) и (6.9) значения интенсивностей переходов l_{i,i -1} и l_{i -1, I}, для СМО любого типа можно рассчитать вероятности ее состояний и определить показатели эффективности.