Независимые испытания. Схема Бернулли

Определение. Испытаниями Бернулли называются независимые испытания с двумя исходами (традиционно их называют «успех» и «неудача»), вероятность которых не меняется от испытания к испытанию.

Проводятся ровно п одинаковых последовательных или совместных независимых испытаний, причем каждое испытание имеет ровно два элементарных исхода: А (успех) и Ā (неудача).

Обозначим вероятности Р(А) = p, Р(Ā) = 1– p = q.

Определение схемы Бернулли. Будем говорить, что опыты (ис­пытания) проводятся по схеме Бернулли, если выполнены следующие условия:

1. Число опытов известно. Оно равно натуральному числу п.

2. Опыты независимы.

3. В каждом опыте одно событие А может произойти с постоянной вероятностью р.

Вычислим вероятность того, что «в п испытаниях событие А произойдет ровно т раз и не произойдет п – т раз». Обозначим это событие В _п,т. Очевидно, что оно распадается на частные случаи, имеющие вид произведений т множителей А и п – т множителей Ā.

Например, при п = 3, т = 2

В _3,2 = ААĀ + АĀА + ĀАА

Тогда вероятность Р(В _3,2) = ppq +pqp + qpp = C²₃ p³q.

В общем случае вероятность события В _п,т находится по формуле

Эта формула называется «биномиальным законом расчета вероятности», поскольку описывает слагаемые бинома Ньютона:

Эта же формула в литературе называется формулой Бернулли по имени её создателя.