Полная вероятность. Формула Байеса

Выведем теперь еще две важные формулы – формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть требуется найти вероятность события А, которое происходит обязательно вместе с одним из событий , , … , образующих полную группу попарно несовместных событий. Тогда, если событие А наступило, то обязательно произошло одно из событий , , … . Это означает, что . Поскольку события , , … попарно несовместны, то и события , , … обладают тем же свойством.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий: . Кроме того, по формуле (5.1) имеем: , , …, . Следовательно,

. (7.1)

Равенство (7.1) носит название формулы полной вероятности. События , , … в этой формуле часто называют гипотезами. Это название оправдывается тем, что мы не знаем заранее, с каким из событий , , … вместе наступает событие А, и говорим, что А наступило в условиях той или иной гипотезы.

Применяя формулу (5.1) легко найти вероятность для любого i от 1 до n. Действительно, . Подставляя в эту формулу значение из (7.1) и учитывая, что , получаем

. (7.2)

Формула (7.2) называется формулой Байеса. Она широко применяется при решении задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез после проведения эксперимента, поскольку позволяет найти вероятность каждой гипотезы при условии, что событие А произошло.