Б. 3. 08. Методы оптимизации

Цель: глубокое теоретическое осмысление основного математического аппарата и фундаментальных методов исследования, применяемых в методах оптимизации, формирование представления о методах оптимизации как об одной из важнейших областей современной математики, развитие навыков практического применения математического аппарата и реализации изучаемых алгоритмов с помощью современных информационных технологий.

Содержание:

1. Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества и функции. Выпуклые и сильно выпуклые функции, их свойства (теоремы о локальном минимуме, о касательной плоскости). Критерии выпуклости и сильной выпуклости гладких функций Критерий оптимальности.

2. Вариационное исчисление. Простейшие задачи классического вариационного исчисления (задача о брахистохроне, задача о струне).Уравнение Эйлера и его первые интегралы. Задачи с подвижными концами и условия трансверсальности. Кратные интегралы. Вариационные задачи на условный экстремум. Правило множителей Лагранжа для изопериметрических задач. Вариационные задачи в параметрической форме. Задачи со старшими производными. Уравнение Эйлера-Пуассона. Необходимые условия экстремума функционала, зависящего от нескольких функций. Теория второй вариации и условия слабого экстремума. Построение поля экстремалей. Условия Лежандра и Якоби.

3. Численные методы математического программирования. Постановка задачи выпуклого программирования. Теорема Куна - Таккера о седловой точке. Двойственность в выпуклом программировании. Линейное программирование; теорема существования и теорема двойственности. Симплекс – метод. Методы минимизации: градиентный, покоординатного спуска, Ньютона, штрафных функций.

4. Оптимальное управление. Постановка задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина. Краевая задача принципа максимума. Связь с классическим вариационным исчислением. Примеры. Градиент в задаче оптимального управления со свободным правым концом траектории. Доказательство принципа максимума для задачи со свободным правым концом траектории. Линейные задачи оптимального управления.

Требования к освоению дисциплины:

Знать: определения и свойства основных понятий курса, теоремы и их доказательства, возможные практические применения.

Уметь: решать типичные задачи по методам оптимизации, применять навыки в других областях современной науки.

Владеть: многообразным аппаратом методов оптимизации, способами его применения при решении различных прикладных задач.

Разработчик: доцент кафедры математики А.М.Зуев