Упражнение №12

a) Докажите, что "q³0 $!MÎAB| AM:MB=q Ù $!NÏAB| AN:NB=-q.

b) Чем отличаются положения точки N в случаях q<1 и q>1?
Что можно сказать о случае q=1? Какому положению М это соответствует?

c) Пусть нам уже дана на отрезке АВ точка М, делящая его в отношении q. Как наиболее быстро (за наименьшее количество действий – проведении прямых и окружностей) с помощью циркуля и линейки найти на прямой АВ точку N?
(Hint: look at the picture)

Говорят, что точка М делит отрезок АВ внутренним образом, а точка N – внешним.

Точки М и N называются гармонически сопряжёнными относительно точек А и В. Говорят также, что точки М и N делят гармонически отрезок АВ.

Упражнение №13.
Докажите, что и обратно, точки А и В делят гармонически отрезок МN.

Про четыре точки [A,M,B,N] взятых именно в таком порядке (порядок важен) говорят, что они находятся в гармоническом отношении или являются гармонической четвёркой точек, если двойное отношение (АМ:МВ):(BN:NA)=-1.

Гомотетию с положительным коэффициентом мы будем называть прямой, а с отрицательным – обратной гомотетией. Нам придётся различать оба этих случая.

Пусть два круга О₁ и О₂ с радиусами r₁ и r₂ не пересекаются.

Упражнение №14.
Найдите для них центры прямой и обратной гомотетий (при которых один круг получается преобразованием плоскости из другого). Чертёж вам послужит подсказкой.

Центр прямой гомотетии называется в этом случае внешним центром подобия. Её коэффициент равен отношению радиусов. В этом же отношении центр гомотетии делит расстояние между центрами окружностей внешним образом Докажите, что через него проходят обе общие внешние касательные к окружностям.