Логические операции

В данной ниже таблице приведены логические операции и их обозначения,используемые как в алгебре логики, так и при записи алгоритмов и программ на некоторых языках программирования. Жирным шрифтом выделены обозначения операций, используемые в заданиях ГИА.

Операция отрицания выполняется над одним операндом. Такие операции называются одноместными или унарными. Правило выполнения этой операции: если значение логического операнда А истинно, то значение А ложно, если А ложно, то А истинно. Если высказывание«Денис сделал уроки» обозначить переменной А, то А соответствует высказыванию «Денис не сделал уроки» или «неверно, что Денис сделал уроки».

Все остальные логические операции, перечисленные в таблице, выполняются над двумя операндами и называются двуместными или бинарными.

При выполнении операции конъюнкции результатом будет истина только в том случае, когда оба операнда истинны. Во всех остальных случаях результатом выполнения конъюнкции будет ложь. Например, высказывание А «число 7 простое» истинно, высказывание В «число 10 чётное» истинно. Высказывание «число 7 простое и число 10 чётное»Продолжение таблицы истинно. Высказывания «число 7 не простое и число 10 чётное», «число 7 простое и число 10 нечётное», «число 7 не простое и число 10 нечётное» ложны.

Результатом выполнения операции дизъюнкции будет ложь только в том случае, когда оба операнда ложны. Для получения истины хотя бы один операнд должен быть истинным. Например, три составных высказывания«число 7 простое или число 10 чётное», «число 7 не простое или число 10 чётное», «число 7 простое или число 10 нечётное» истинны,высказывание «число 7 не простое или число 10 нечётное» ложно.

Если операнды имеют разные логические значения, результатом операции исключающей дизъюнкции (исключающего ИЛИ) будет истина,а результатом операции эквиваленции — ложь. Если оба простые высказывания ложны или оба простые высказывания истинны, результатом операции исключающей дизъюнкции будет ложь, а операции эквиваленции — истина. Можно сделать вывод, что операция эквиваленции есть отрицание операции исключающей дизъюнкции и, наоборот: операция исключающей дизъюнкции есть отрицание операции эквиваленции.

В операции импликации А → В операнд А называют посылкой, операнд В — следствием или заключением. Импликация ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна.

Тот факт, что когда А ложно, импликация А → В истинна при любомВ, соответствует принципу «ex falso quod libet» (лат. «из ложного (высказывания) — всё что угодно»).

Составим таблицу, иллюстрирующую правило выполнения операции импликации для высказываний А «идёт дождь», В «на небе тучи».

Пример составного высказывания «Если..., то...»

Из всех логических операций импликация вызывает больше всего вопросов. В разговорной речи связка «если..., то...» описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Напомним, что в алгебре логики смысл высказываний не учитывается, рассматривается только их истинность или ложность. Высказывания А и В могут быть даже не связанными по содержанию, например: «если в огороде бузина, то в Киеве дядька». Надо понимать, что результат операции импликации, как и других логических операций, определяется истинностью или ложностью переменных, а не наличием причинно-следственных связей между высказываниями. Приведённый в таблице пример лишь помогает понять и запомнить правило выполнения импликации.