Линейная зависимость строк и столбцов

Строки и столбцы матрицы можно рассматривать как матрицы - строки и матрицы – столбцы. Поэтому над ними, как и над любыми матрицами, можно выполнять линейные операции.

Линейные операции над строками (столбцами) дают возможность составлять строки (столбцы) в виде выражений

,

где – произвольный набор векторов - строк (столбцов) одинаковой длины (высоты); – вектор – строка (столбец).

Например, набор строк (некоторой матрицы):

,

,

………………………..,

.

Например, набор столбцов (некоторой матрицы):

…,

Вектор – строка (столбец) называется линейной комбинацией строк (столбцов) с коэффициентами .

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, и тривиальной, если .

В последнем случае вектор – строка (столбец) – нулевая строка (столбец) .

Строки называются линейно независимыми, если равенство

,

где в правой части – нулевая строка, возможно лишь при , т.е. нулевой строке равна только тривиальная линейная комбинация строк.

Строки называются линейно зависимыми, если равенство

возможно, когда существуют действительные числа , не равные нулю одновременно, т.е. нулевой строке равна нетривиальная линейная комбинация строк.

Аналогично это распространяется и на линейную зависимость и независимость столбцов.

Например:

пусть – вектора – строки (одинаковой длины)

Составим их линейную комбинацию: вектор – строку

,

где

,

,

.

Линейная комбинация

или , где элементы вектора – строки определяются следующим образом:

……………………………….,

Если среди хотя бы одно не равно нулю, но то строки линейно зависимы.