Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов

Пусть дан линейный дифференциальный оператор L, действующий на функцию v=v(x). Заменяя входящие в Lv производные разностными отношениями, получим вместо Lv разностное выражение L_hv_h, являющееся линейными комбинациями значений сеточной функции v_h на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном. Такая приближенная замена Lv на L_hv_h называется аппроксимацией дифференциального оператора разностным оператором (или разностной аппроксимацией оператора L).

Изучение разностных аппроксимаций оператора L вначале производят локально, т.е. в любой фиксированной точке x области w_h. Прежде чем приступать к разностной аппроксимации оператора необходимо выбрать шаблон, т.е. указать множество соседних с узлом х_i узлов, в которых значения сеточной функции v_h(x_i)=v(x_i) могут быть использованы для аппроксимации оператора L.

Обозначим y(x)=L_hv(x)-Lv(x) при h®0. Величина y(x) называется погрешностью разностной аппроксимации Lv в точке х.

Говорят, что L_h аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком m>0 в точке х, если y(x)=L_hv(x)-Lv(x)=О(h^m).

Аппроксимируем данное уравнение, используя пятиточечный шаблон " крест ".

(5)

Уравнение (5) должно выполняться для всех внутренних узлов сетки. Для того чтобы система стала полностью определенной, необходимо дополнить ее уравнениями, получаемыми краевых условий.

Порядок аппроксимации данной схемы О().

Практическая часть:

Решаем уравнение:

A=4; B=1; (1)

U(x,0)=0; U(x,B)= 4 ;

U(0,y)=0; U(A,y)=0;

Изображение линий уровня:

U (x):

U (у):

Найдем оптимальное значение параметра для метода релаксации:

Из графика видим, что оптимальное значение параметра mu находиться между 1.5 и 1.7.

Значение функции:

U(x,y) =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.9533 1.5314 1.9860 2.3829 2.7523 3.1133 3.4815 3.8724 4.3042 4.8000

0 1.3683 2.2302 2.9157 3.5094 4.0479 4.5513 5.0320 5.4980 5.9537 6.4000

0 1.5941 2.6072 3.4151 4.1124 4.7393 5.3169 5.8582 6.3713 6.8615 7.3321

0 1.7115 2.8016 3.6715 4.4215 5.0939 5.7111 6.2866 6.8292 7.3450 7.8384

0 1.7482 2.8623 3.7514 4.5177 5.2045 5.8343 6.4210 6.9736 7.4984 8.0000

0 1.7115 2.8016 3.6715 4.4215 5.0939 5.7111 6.2866 6.8292 7.3450 7.8384

0 1.5941 2.6072 3.4151 4.1124 4.7393 5.3169 5.8582 6.3713 6.8615 7.3321

0 1.3683 2.2302 2.9157 3.5094 4.0479 4.5513 5.0320 5.4980 5.9537 6.4000

0 0.9533 1.5314 1.9860 2.3829 2.7523 3.1133 3.4815 3.8724 4.3042 4.8000

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

eps=10^-9

Nx, Ny	Кол-во итераций по методу Зейделя	Кол-во итераций по методу релаксации
10 10
10 20
20 20
25 20
25 25
30 20
40 10

Исследование сходимости по сеткам h, h/2, h/4:

Относительные погрешности уменьшаются с увеличением количества узлов сеток:

delta1 = 0.1748

delta2 = 0. 0783

Аналитическое решение:

получаем существенную погрешность:

Nx, Ny	Погрешность метода %
10 10	30,5
10 15
15 15	31,95
20 15	31,93
20 20	22,77
20 25	22,4
25 25	24,75
30 25	25,66
30 30	25,61
35 35	26,34
40 40	26,98

Графики погрешностей выглядят так:

Модельная задача: