Парадокс Платона и Сократа

Платон: Следующее высказывание Сократа будет ложным.

Сократ: То, что сказал Платон, истинно.

В связи с парадоксом лжеца может возникнуть мысль, что парадокс возникает, когда утверждение ссылается на свою собственную истинность. Но парадокс Платона и Сократа показывает, что причина лежит глубже.

Парадокс Ришара (1905)[23, стр. 9]

С помощью некоторых фраз русского языка могут быть охарактеризованы те или иные вещественные числа. Например, фраза "отношение длины окружности к длине диаметра в круге" характеризует число p. Все фразы русского языка могут быть перенумерованы некоторым стандартным способом, а именно: упорядочим сперва лексикографически (т. е. как в словаре) все фразы, содержащие в точности k букв, а затем поместим все фразы из k букв впереди всех фраз с большим числом букв. Теперь можно перенумеровать все фразы русского языка, которые характеризуют то или иное вещественное число. Для этого достаточно в стандартной нумерации всех фраз опустить все остальные фразы. Число, получающее при такой нумерации номер n, назовем n-ым числом Ришара. Рассмотрим такую фразу: "вещественное число, у которого n-ый десятичный знак равен 1, если у n-го числа Ришара n-ый десятичный знак не равен 1, и n-ый десятичный знак равен 2, если у n-го числа Ришара n-ый десятичный знак равен 1". Эта фраза определяет некоторое число Ришара, допустим k-ое; однако, согласно определение, оно отличается от k-го числа Ришара в k-ом десятичном знаке.

Варианты парадокса Б. Рассела

Курт Греллинг (немецкий математик, 1908):

Разделим все прилагательные на два множества: самодескриптивные, обладающие тем свойством, которые они выражают, и несамодескриптивные. Такие прилагательные, как "многосложное", "русское" и "видимое", принадлежат к числу самодескриптивных, а такие прилагательные, как "односложное", "немецкое" и "невидимое", - к числу несамодескриптивных. К какому множеству принадлежит прилагательное "несамодескриптивное"?

Дж. Дж. Берри (библиотекарь оксфордского университета, 1906):

В парадоксе речь идет о "наименьшем целом числе, которое не может быть задано менее чем тринадцатью словами". Выражение, взятое в кавычки, содержит 12 слов. Какому множеству принадлежит определяемое число: множеству целых чисел, которые на русском языке задаются менее чем тринадцатью словами, или множеству целых чисел, задаваемых на русском языке 13 и более словами?

Любой из двух ответов приводит к противоречию.

Макс Блэк (философ):

В книге упоминаются различные целые числа. Сосредоточим наше внимание на наименьшем целом числе, которое ни прямо, ни косвенно не упоминается в этой книге. Существует ли такое число?

"Казнь врасплох" [10, с. 96-97]

"Преступника приговорили к смертной казне через повешение и поместили его в тюрьму в субботу.

- Тебя повесят в полдень, - сказал ему судья, - в один из семи дней на следующей неделе. Но в какой именно день это должно произойти, ты узнаешь лишь утром в день казни.

Судья славился тем, что всегда держал свое слово. Осужденный вернулся в камеру в сопровождении адвоката. Как только их оставили вдвоем, защитник удовлетворенно ухмыльнулся.

- Неужели не понятно? - воскликнул он. - Ведь приговор судьи нельзя привести в исполнение!

- Как? Ничего не понимаю, - пробормотал узник.

- Сейчас объясню. Очевидно, что в следующую субботу тебя не могут повесить: суббота - последний день недели, и в пятницу днем ты бы уже знал наверняка, что тебя повесят в субботу. Таким образом, о дне казни тебе бы стало известно до официального уведомления в субботу утром, следовательно, приказ судьи был бы нарушен.

- Верно, - согласился заключенный.

- Итак, суббота, безусловно, отпадает, - продолжал адвокат, поэтому пятница становится последним днем, когда тебя смогут повесить. Однако и в пятницу повесить тебя нельзя, ибо после четверга осталось бы всего два дня - пятница и суббота. Поскольку суббота не может быть днем казни, повесить тебя должны лишь в пятницу. Но раз тебе об этом станет известно еще в четверг, то приказ судьи опять будет нарушен. Следовательно, пятница тоже отпадает. Итак, последний день, когда тебя еще могли казнить, это четверг. Однако четверг тоже не годится, потому что, оставшись в среду живым, ты сразу поймешь, что казнь должна состояться в четверг.

- Все понятно! - воскликнул заключенный, воспрянув духом. - Точно так же я могу исключить среду, вторник и понедельник. Остается только завтрашний день. Но завтра меня наверняка не повесят, потому что я знаю об этом уже сегодня.

Итак, безупречными логическими рассуждениями приговоренный убедился в том, что, не нарушив приговора, казнь совершить невозможно. И вдруг, к немалому удивлению осужденного, в четверг утром в камеру является палач. Осужденный, конечно, этого не ждал, но самое удивительное, что приговор оказался совершенно точным - его можно привести в исполнение в полном соответствии с формулировкой".

Парадокс о вычислимых функциях [14, с. 184]

Легко доказать, что множество всюду определенных вычислимых функций f: Í à Í является перечислимым, т. е. их можно перенумеровать в виде последовательности f₁, f₂, f₃,....

Определим теперь новую функцию g формулой

g(n) = f_n(n)+1.

Она не входит в нашу последовательность, поскольку при n=1 она отличается от f₁, при n=2 - от f₂ и т. д. Следовательно, она не вычислима.

С другой стороны, ясно, что она вычислима, так как f_n(n) вычислима, а прибавив 1 к f_n(n), мы получим g(n).

Этот парадокс можно объяснить. На самом деле мы здесь используем две формальные системы. В рамках одной системы (скажем, арифметики), мы описываем вычислимые функции f, а то, что g является вычислимой функцией мы получаем в рамках другой формальной системы, в которой уже используется возможность упорядочить f. Вторая формальная система является надсистемой или метасистемой относительно первой.