Приложение определенного интеграла к решению физических задач

Рассмотрим решение следующих задач.

1. Через участок тела животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону мА. Длительность импульса 0,1 с. Определить работу, совершаемую током за это время, если сопротивление участка равно 20 кОм.

За малый интервал времени d t, когда ток практически не меняется, на сопротивлении R совершается работа . За время всего импульса будет совершена работа

.

Подставляя в полученное выражение значение тока, получим.

2. Скорость точки равна (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за время t =4с, прошедшее от начала движения.

Найдем путь , пройденный точкой за бесконечно малый промежуток времени . Так как в течение этого времени скорость можно считать постоянной, то . Интегрируя, имеем

3. Найти силу давления жидкости на вертикальную треугольную пластину с основанием a и высотой h, погруженную в жидкость так, что ее вершина лежит на поверхности.

Систему координат расположим, как показано на рис. 5.

Рис. 5

Рассмотрим горизонтальную бесконечно малую полоску толщиной d x, находящуюся на произвольной глубине x. Принимая эту полоску за прямоугольник, найдем ее основание EF. Из подобия треугольников ABC и AEF получаем

.

Отсюда

.

Тогда площадь полоски равна

.

Так как сила P давления жидкости на площадку S, глубина погружения которой r, по закону Паскаля равна

,

где r- плотность жидкости, g - ускорение силы тяжести, то искомая сила давления на рассматриваемую площадку d S вычисляется по формуле

.

Следовательно, сила давления P жидкости на площадку ABC

.

Решить задачи.

5.41 Скорость движения точки определяется уравнением см/с. Найти путь, пройденный точкой за время t =5с, протекшее от начала движения.

5.42 Скорость тела выражается формулой м/с. Найти путь, пройденный телом за первые три секунды после начала движения.

5.43 Скорость движения тела определяется уравнением см/с. Какой путь пройдет тело за третью секунду движения?

5.44 Два тела начинают двигаться одновременно из одной и той же точки: одно со скоростью (м/мин), а другое со скоростью (м/мин). На каком расстоянии друг от друга они будут через 10 мин, если двигаются по одной линии в одном направлении?

5.45 На тело массой 5 г, движущееся прямолинейно, действует сила (дин). Найти расстояние, пройденное телом в течение третьей секунды движения.

5.46 Скорость колеблющейся точки изменяется по закону (см/с). Определить смещение точки через 0,1 с после начала движения.

5.47 Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 0,06 м, если сила в 1Н растягивает ее на 0,01 м?

5.48 Скорость колеблющейся точки изменяется по закону (м/с). Определить путь, пройденный точкой за с от начала движения.

5.49 Азот, масса которого 7 г, расширяется при неизменной температуре, равной 300°К так, что его объем увеличивается вдвое. Определить работу, совершаемую газом. Универсальная газовая постоянная Дж/кмоль.

5.50 Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину длиной в 25 см до длины в 35 см, если известно, что коэффициент жесткости пружины равен 400 Н/м?

5.51 Через тело животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону (мА). Длительность импульса равна 0,1с. Определить заряд, протекающий через тело животного.

5.52 Какая работа совершается при растяжении мышцы на l мм, если известно, что при нагрузке P ₀ мышца растягивается на l ₀ мм? Считать, что сила, необходимая для растяжения мышц, пропорциональна ее удлинению.

5.53 Тело двигается в некоторой среде прямолинейно по закону . Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости . Найти работу, произведенную силой сопротивления среды при передвижении тела от S =0 до S = a метров.