Вопрос 3 - Начальная критическая нагрузка

По определению, начальная критическая нагрузка соответствует случаю, когда в основании под подошвой фундамента в единственной точке под гранью фундамента возникает предельное состояние.

Для нахождения величины р _{нач. крит.} в случае плоской задачи пользуются расчетной схемой рисунка 6. При этом необходимо иметь ввиду, что в случае центрально-нагруженного фундамента распределение контактных напряжений может быть принято по закону прямоугольника. Расчетная схема такой задачи приведена на рисунке 19.

Рисунок 19 – Расчетная схема для определения

начальной критической нагрузки

В основании выбирают некоторую точку М. В этой точке определяют контактное напряжение р, при котором в этой точке возникнет предельное напряженное состояние. Полное напряжение в точке М - сумма напряжений от собственного веса грунта, лежащего выше этой точки, и от местной дополнительной нагрузки интенсивностью р – q.

Вертикальное сжимающее напряжение от собственного веса грунта в точке М будет максимальным главным напряжением и при различных удельных весах грунта засыпки выше подошвы фундамента γ' и ниже этого уровня γ запишется в виде уравнения (5.5):

σ _{l g} = q + γ z = γ' d + γ z, (5.5)

Горизонтальное сжимающее напряжение будет минимальным главным напряжением; его можно выразить через коэффициент бокового давления грунта (5.6):

σ _{3 g} = ξ σ _{l g}, (5.6)

Примем для упрощения гидростатический закон распределения напряжений от собственного веса грунта, то есть при ξ = 1. Тогда:

σ _{3 g} = σ _{l g} = γ' d + γ z, (5.7)

Максимальное и минимальное главные напряжения в точке М от местной полосовой нагрузки интенсивностью можно записать в соответствии с формулами (4.9) и (4.10) в виде уравнений (5.8) и (5.9):

σ _{1, p - q} = (p - γ' d) / π (α + sin α); (5.8)

σ _{3, p - q} = (p - γ' d) / π (α - sin α), (5.9)

где α - угол видимости (Рисунок 19).

Таким образом, в модели линейно деформируемой среды полные напряжения в точке М определяют по формулам (5.10) и (5.11):

σ ₁ = σ _{1, p - q} + σ _{l g} = (p - γ' d) / π (α + sin α) + γ' d + γ z, (5.8)

σ ₃ = σ _{3, p - q} + σ _{3 g} = (p - γ' d) / π (α - sin α) + γ' d + γ z, (5.9)

Предельное напряженное состояние в точке М реализуется при соблюдении условия (5.3). Подставив выражения (5.8) и (5.9) в формулу (5.3), получим выражение (5.10):

[(p - γ' d) / π] sin α - sin φ {[(p - γ' d) / π] α + γ' d + γ z} = c cos φ, (5.10)

Выражение (5.10) можно рассматривать как уравнение границы области, проходящей через точку М, на контуре которой при действии под подошвой фундамента напряжения р имеет место состояние предельного равновесия.

Координаты точек этой границы определяются неизвестными z и α. Решая уравнение (5.10) относительно z, получим выражение (5.11):

z = [(p - γ' d) / π γ] [(sin α / sin φ) - α] - γ' d / γ – c/ (γ. ctg φ), (5.11)

Это уравнение при заданном значении р в явном виде определяет ординату границы области предельного равновесия z при произвольных значениях угла видимости α. Максимальную глубину границы этой области z _мах можно найти, взяв производную dz / dα и приравняв ее нулю:

dz / dα = [(p - γ' d) / π γ] [(cos α / sin φ) - 1] = 0, (5.12)

Из уравнения (5.12) следует, что при z = z _мах:

cos α = sin φ, то есть α = π/2 – φ и sin α = cos φ, (5.13)

Тогда, подставив выражение (5.13), получим для z _мах выражение вида (5.14):

z _мах = [(p - γ' d) / π γ] [(ctg φ + φ – π/2) - γ' d / γ – c/ (γ. ctg φ), (5.14)

Решая уравнение (5.14) относительно р, найдем такое значение критического напряжения под подошвой фундамента, при котором область предельного равновесия развивается на заданную максимальную глубину (5.15) z _мах :

р _кр = [π(γ z _мах + γ' d + c. ctg φ)] / (ctg φ + φ – π/2) + γ' d, (5.15)

Из определения понятия р _{нач. крит.} в формуле (5.15)вначале следует принять z _мах = 0. Тогда в единственной точке основания под гранью фундамента будет выполняться условие предельного равновесия. При этом окончательно имеем формулу Пузыревского (5.16):

р _{нач. крит.} = [π(γ' d + c. ctg φ)] / (ctg φ + φ – π/2) + γ' d, (5.16)

Выражение (5.16) без учета сцепления грунта было впервые получено Н.П. Пузыревским, поэтому его часто называют формулой Пузыревского.

Для идеально связных грунтов (φ = 0; с > 0) к которым относят слабые глинистые грунты (илы), глинистые грунты в состоянии незавершенной консолидации и в некоторых случаях мерзлые глинистые грунты, приняв в формуле (5.16) φ = 0, получим (5.17):

р _{нач. крит.} = π c + γ' d, (5.17)

Фундамент, запроектированный так, что напряжение под его подошвой не превышает начальной критической нагрузки, будет находиться в совершенно безопасном состоянии. Однако, как показывает практика, грунты основания при этом будут обладать резервом несущей способности.