Теорема Грама-Шмидта (о существовании ортонормированного базиса)

Во всяком -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис .

Доказательство. Согласно аксиоме размерности в пространстве имеется линейно независимая система из векторов . Покажем, что можно построить систему из векторов линейно выражающихся через векторы системы , и образующих ортонормированный базис.

Доказательство проведем по методу математической индукции.

1. При утверждение теоремы очевидно. Если есть ненулевой вектор, то один нормированный вектор образует ортонормированный базис.

2. Предположим, что в каждом - мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, и докажем то же утверждение для произвольного .

Пусть есть произвольный базис в пространстве . Линейная оболочка векторов системы представляет собой евклидово пространство размерности и, по предположению индукции, там существует ортонормированная система из векторов . Построим новый -тый вектор .

Коэффициенты выберем такими, чтобы новый вектор был ортогонален всем векторам системы . Так как система является ортонормированной, получим , откуда для всех .

Нормируем вектор , т.е. построим единичный вектор По построению вектор ортогонален векторам системы и имеет единичную длину. Таким образом, найдена ортонормированная система векторов , которая линейно независима и является базисом евклидова пространства . На этом завершается доказательство теоремы Грамма-Шмидта по методу математической индукции.

Конструктивный метод, с помощью которого был построен ортонормированный базис при доказательстве теоремы, называют методом ортогонализации Грама-Шмидта.

При практической реализации метода Грама-Шмидта, отправляясь от системы векторов ,последовательно находят ортонормированные векторы в соответствии со следующим алгоритмом:

Отметим, что в каждом евклидовом пространстве существует бесконечно много ортонормированных базисов. Так, начиная процесс ортогонализации с любого ненулевого вектора, можно построить некоторый ортонормированный базис.