Выбор рациональных параметров сечений балок

Рациональность сечения балки по массе как конструкции, работающей на изгиб, определяется отношением W Чем больше при данной площади поперечного сечения F момент сопротивления балки W, тем последняя более экономична; следовательно, с точки зрения экономии массы, для балок наиболее выгодными являются сечения двутаврового типа с возможно более мощными поясами, насколько это позволяют условия общей устойчивости

Рисунок 13.1. Типы сечений составных балок: а — сечения; б — соотно­шения размеров эле­ментов сжатых поясов

балок и местной устойчивости их стенок и поясов. Балки бывают прокатные или составные (рисунок. 13.1) и при этом в зависимо­сти от количества и расположения опор — разрезные, неразрез­ные и консольные.

Так как допускаемые напряжения (расчетные сопротивления) на растяжение и сжатие одинаковы, при расчетах на прочность для балок рациональны симметричные сечения. Сопротивление усталости при сжатии больше, чем при растяжении, и при расчетах на выносливость для балок рациональны несимметрич­ные сечения с более развитым растянутым поясом.

В последнее время находят применение балки трубчатого сече­ния — более технологичные, чем коробчатые. Во-первых, имеется достаточно широкий сортамент электросварных труб больших диаметров (до 1600 мм), во-вторых, мощные сечения можно изго­товлять сравнительно легко из труб, свальцованных из листов, с минимальным количеством сварных швов. Весьма важным преимуществом трубчатых сечений перед коробчатыми является их меньшая потребность в продольных ребрах жесткости для обеспечения местной устойчивости стенки. Если трубчатое сечение работает на изгиб в двух плоскостях, то волокна попереч­ного сечения, максимально напряженные при изгибе в верти­кальной плоскости, совершенно не испытывают напряжений при изгибе в горизонтальной плоскости. В то время как у прямоугольного сечения при изгибе в двух плоскостях наиболь­шие напряжения от изгиба в каждой плоскости складываются алгебраически, у балки трубчатого сечения для определения на­пряжений изгибающие моменты в двух плоскостях складываются геометрически и может оказаться, что балка трубчатого сечения легче.

Прокатные балки (двутавровые и швеллеры) находят все меньшее применение в конструкциях подъемно-транспортных машин. Хотя стоимость их значительно ниже, чем составных балок, они тяжелее, так как по условиям прокатки материал в них распределяется не так выгодно. В соответствующих конструкциях (легкие концевые балки мостовых кранов, рамы тележек и т. п.) весьма рациональны гнутые профили швеллерного типа, обладаю­щие малыми массой и стоимостью.

Составные балки бывают одностенчатыми и двухстенчатыми (рисунок 13.1). Нижний предел применения составных балок ограничи­вается сортаментом прокатных балок и гнутых профилей. Верхний предел практически неограничен, и для самых мощ­ных конструкций используются составные балки коробчатого типа.

Высота стенки, примерно равная высоте балки, выбирается в зависимости от ее статической схемы. Наибольшая высота h ограничивается условием получения балки минимальной массы, т. е. диктуется экономическими соображениями; наименьшая — условием ограничения прогиба и времени затухания колебаний.

Оптимальная высота балки может быть опреде­лена расчетом. Использовать полностью материал балки — это значит осуществить соответствующий изгибающему моменту опре­деленный момент сопротивления W. Задача имеет множество ре­шений. Наибольшая возможная высота балки диктуется экономи­ческими соображениями. Найдем высоту балки h при условии ее минимальной массы, обеспечивающую получение данного W.

Пусть сила тяжести единицы длины балки

G = (G_П + G_С)β, (13.1)

где G_П = 2F_Пγ — сила тяжести двух поясов площадью F_П; G_C δ_С hγ — сила тяжести стенки, причем у коробчатой балки δ_С — толщина обеих стенок; γ — плотность. Конструктивный коэффициент β зависит от силы тяжести диафрагм и ребер жест­кости. В среднем β = 1,2 при отсутствии продольных ребер и β = 1,3 при наличии одной пары продольных ребер. Будем анализировать силу тяжести единицы длины балки постоянного сечения. Момент инерции балки

J=J_С + J_{П ,}

откуда

= .

Подставляем значения G _п и G _с в формулу (5.1). Тогда

G = γβ

Для нахождения высоты балки, обеспечивающей ее минимальную си­лу тяжести, полагаем

=0,

откуда

Рисунок 13.2. График изменения мас­сы балок при отступлении от наивыгоднейшей высоты

Сила тяжести единицы длины балки оптимальной высоты

G = 2γβh =

Из формулы (5.2) следует, что у балки оптимальной высоты площадь пояса bδ_П = hδ_С, где для коробчатой балки δ _с — тол­щина обеих стенок.

Пусть для балки выбрана высота , не соответствующая опти­мальной. Тогда

G₁ = 2γβ

Обозначим = α. На рис. 5.2 зависимость 100% = 100% представлена графически. Функция зависимости силы тяжести от высоты балки в области своего минимума изме­няется настолько плавно, что при отклонении высоты балки от оптимального значения на 20% сила тяжести балки увеличивается не более чем на 2,5%. Однако надо заметить, что если назначение высоты балки меньше оптимальной может быть оправдано сообра­жениями уменьшения габаритов, то назначение высоты балки больше оптимальной должно быть признано нерациональным. При этом уменьшение высоты лимитируется требованиями ограничения прогиба или времени затухания колебаний. Таким обра­зом, наибольшая высота балки должна определяться из следу­ющего соотношения:

h (13.3)

На рис. 5.3 это условие представлено графически. Найдем наименьшую возможную высоту балки h, удовлетворяющую условию ограничения прогиба (см. п. 24). Прогиб балки от системы сосредоточенных сил равен

f =

где и α' — коэффициенты, равные, например, для двухопорной балки с силой Р посе­редине α = 48, а α' = . Если балка, кроме нагрузки , имеет еще какую-либо нагрузку q, от которой прогиб не учиты­вается, то при правильном под­боре сечения балки

,

Откуда

Окончательно находим

.(13.4)

Рисунок 13.3. График высот балок, обеспе­чивающих их минимальную массу:

1 — δ_с = 12 мм; β = 1,2; 2 — δ_с = 12 мм; β= 1,3; 3 — , = 16 мм; β=1,2; =16 мм; β= 1,3

При расчете по методике предельного состояния в формулу (5.4) вместо надо подставить значение расчетного сопротивле­ния изгибу R, деленное на коэффициент перегрузки для нагрузок P (прогибы определяются от нормативной нагрузки), а значение σ_q вычислить без учета коэффициента перегрузки. В связи с возра­стающим применением более прочных сталей ограничение вы­соты h по формуле (5.4) делается весьма существенным, так как для удовлетворения требованию допустимого относительного прогиба L/[f] может оказаться необходимым уменьшить [ ],т. е. ввести излишний запас прочности.

Толщина стенки определяется условиями ее устойчи­вости и прочности, причем обычно из технологических условий толщина принимается не менее 6 мм. При работе балок в условиях повышенной коррозии толщина стенки принимается не менее 8 мм. Чем меньше толщина стенки, тем, как правило, балка легче и экономически выгоднее. Укрепление стенок для их устойчивости с помощью ребер жесткости осуществляется достаточно просто, и поэтому необходимость обеспечения устойчивости не является препятствием к применению тонкостенных балок. Проверка ка­сательных напряжений для стенок в сечениях с наибольшей по­перечной силой производится по формулам:

τ= (13.5)

(13.6)

где Q — поперечная сила, (в 13.6) — с учетом коэффициентов пе­регрузки; S_6p — статический момент брутто полусечения относи­тельно нейтральной оси; J_6p — момент инерции брутто всего се­чения; δ — толщина одной или двух стенок; R_cp — расчетное со­противление срезу; т_к — коэффициент условий работы.

При ослаблении сечения отверстиями для болтов или заклепок касательные напряжения, определяемые по формулам (5.5) и (5.6), умножаются на коэффициент а/(а — d), где а — шаг отвер­стий для болтов или заклепок; d — диаметр отверстия.

Так как напряжение τ обычно мало, можно для предваритель­ного его определения воспользоваться приближенной формулой

τ= ,

не учитывающей влияния поясов и предполагающей чистый срез стенки.

Если в поперечном сечении балки имеют место одновременно большие значения М и Q (консольные и неразрезные балки, двухопорные балки с сосредоточенными грузами), надлежит на уровне поясных швов проверить приведенные напряжения по формулам:

[σ];(13.7)

m_кR, (13.8)

где σ_x, σ_y и τ_xy — расчетные в (5.8) с учетом коэффициентов пере­грузки нормальные, параллельные и перпендикулярные оси балки, и срезывающее напряжения в стенке на уровне поясных швов в рассматриваемом сечении балки, каждое в отдельности удовлет­воряющее условию прочности; R — расчетное сопротивление из­гибу.

Пояса сварных балоксостоят только из листов. Наиболее целесообразна конструкция с одним поясным листом, толщина которого при углеродистой стали не должна превышать 50 мм, а при низколегированной стали — 40 мм (п. 1). На рис. 5.1 приведены соотношения размеров элементов сжатых поясов балок из условий их устойчивости (меньшие значения — для балок из низколегированных сталей, большие — из углеродистых). Мини­мальное расстояние между двумя стенками коробчатой балки определяется условиями сварки внутренних диафрагм. Это рас­стояние зависит от высоты балки и может приниматься в пределах 300—500 мм для балок высотой 800—1500 мм; в зависимости от потребной мощности пояса оно мо­жет быть увеличено.

Если двухстенчатая балка не имеет боковых креплений на всей длине пролета, она кроме прочности должна Обладать необходимой жест­костью в боковом направлении и на кручение. Для этого практика кра-ностроения выработала для крановых коробчатых мостов два критерия: отношение длины пролета балки L к расстоянию между вертикальными стенками а должно быть не более 60 и отношение высоты двухстенчатой балки h к расстоянию а не должно превышать 3,5.

Рисунок 13.4. Неравномерное распре­деление нормальных напряже­ний по широкому поясу корот­кой балки

В связи с широким распростра­нением в подъемно-транспортном ма­шиностроении листовых конструкций встречаются балки, у ко­торых размеры поперечных сечений не малы по сравнению с их длиной и отношение ширины к их длине во много раз больше, чем это принято, например, для коробчатых балок крановых мостов. У таких широких и коротких балок возникающие при изгибе нор­мальные напряжения в поясах по их ширине распределяются не­равномерно. Аналогичная задача имеет место в расчете рам теле­жек, когда верхние пояса балок тележки заменяются сплошной. листовой зашивкой и возникает вопрос о том, какую ширину листа следует вводить в расчет в качестве пояса для данной балки (рис. 13.4). Наибольшие напряжения в полке по оси стенки будут такими же, как и в верхних волокнах стенки, а дальше по ширине полки они будут убывать. Назовем полезной шириной полки В такую ее ширину, при которой нормальные напряжения в полке постоянны по ее ширине и определяются по обычным фор­мулам сопротивления материалов. Очевидно, полезная ширина полки меньше ее действительной ширины. Поэтому определение напряжений и деформаций у балок, широких по отношению к их длине, по обычным формулам сопротивления материалов вводя в расчет всю ширину поясов, может приводить к заметным откло­нениям от такого расчета. Так, при исследовании коробчатой двухопорной балки с силой посередине при отношении ширины пояса к пролету 1250/6000 = 1/4,8 измеренный прогиб из-за фактически меньшей по сравнению с расчетной жесткости балки оказался на 15% больше [33]. О распределении напряжений по ширине поясов коробчатых балок см. п. 31. Ограничения ширины сжатых поясов из условия обеспечения их устойчивости (при полном ис­пользовании допускаемых напряжений) приведены на рис. 13.1.