Диаграмма предельных напряжений

Так как пределы выносливости определяются эксперимен­тально, то естественно, что путем испытаний установить их при всех значениях К и R невозможно. Эксперименты показывают, что если результаты испытаний по определению пределов вы­носливости изобразить в виде диаграммы, на которой по оси орди­нат откладывать значения σ_mах и σ_min, а по оси абсцисс — значения среднего напряжения σ_m (рис. 11.3), то такая диаграмма может быть образована из прямых линий. График, характеризующий зависимость пре­дела выносливости (σ_mах = σ_RK) от среднего напряжения цикла, называют диаграммой предельных напряжений. Таким образом, для построения диаграммы нужны лишь две экспериментальные точки, по данным усталостных испытаний. Одной из них обычно бывает точка, соответствующая симметричному циклу А—А', а дру­гой — какая-либо точка, например соответствующая отнулевому циклу В—В'. Наибольшее расчетное значение предела вы­носливости не должно превышать предельных значений стати­ческой прочности (для металлических конструкций предела текучести σ_Т), и поэтому верхняя и нижняя части диаграммы ограни­чиваются значениями σ_Т. Таким образом, если напряженное состояние элемента характеризуется значениями σ_mах и σ_m, лежащими на контурной линии диаграммы (рис. 11.3), то оно соответствует пределу выносливости, если внутри контурной линии диаграммы, то имеется запас по отношению к пределу выносливости, а если вне контурной линии, то это соответствует пределу ограниченной выносливости при числе циклов, меньшем базового N₀ (см. рис. 11.2).

Все точки, лежащие на одном луче, выходящем из на­чала координат и проведенном под углом β к горизонтали, имеют одинаковое отношение σ_mах/σ_m = tg(β), следователь­но, все они соответствуют циклам нагружения с одинако­вым значением коэффициента асимметрии, поскольку σ_m = σ_mах (1 + R)/2 и R = [2/tg(β)] –1 (здесь 45° < β < 225°). Таким образом, точки, лежащие на вертикальной оси (tg(β)=∞)> соответствуют симметричным циклам с R = - 1; луч, проведенный под углом β = агсtg (2), соответствует R = 0, а на луче проведенным под углом 45°, располагаются точки, характеризующие статическое нагружение R = 1 и σ_а = 0. Для циклов со средними сжимающими напряжени­ями (σ_m < 0) предел выносливости обычно определяют по минимальным напряжениям, т. е. σ_RK = σ_min < 0.

Рис.11.3. Схематизированная диаграмма предельных напряжений

в координатах σ_mах, σ_m для основного металла (К = 1)

Для аналитического описания линеаризированной диа­граммы предельных напряжений для прокатного листа без концентраторов напряжений необходимо знать его пре­делы выносливости при симметричном (σ_-1) и отнулевом (σ₀) циклах [8]. В координатах [σ_m, σ_R] линия, проходящая через точки [σ_m = 0; σ_mах = σ_-1] и [σ_m = 0,5σ₀; σ_mах = σ₀], описывается уравнением

где = — коэффициент чувствительности ста­ли к асимметрии цикла. После подстановки σ_m = 0,5(1 + R), σ_R окончательно находим:

(11.3)

Эта формула вместе дает параметрическое описание линии CЕ диаграммы предель­ных напряжений для гладкого листа. Ординаты точек линии C’E’ получаются, как σ_min = Rσ_mах, где σ_mах = σ_R.

Для вывода уравнения участка DF используют равен­ство [8]:

,

полученное путем обобщения экспериментальных данных. Здесь – эффективный коэффициент кон­центрации напряжений. Это уравнение связывает предел выносливости узла с концентратором напряжений с пределом выносливости гладкого листа при том же среднем напряжении. Оно решается совместно с уравнением линии СЕ (11.3), которое в данном случае будет иметь вид:

.

Здесь , — амплитуда и среднее напряжение пре­дельного цикла, соответствующего гладкому листу. В результате совместного решения получим:

(11.4)

где . Данное выражение может быть представлено в виде .

На основании многочисленных экспериментов установлено, что предел выносливости для прокатного листа =0,35 и =0,2. Поскольку для сварных узлов со значительной концентрацией напряжений и высокими остаточными на­пряжениями К_σ=2,5…3,5, то можно принимать 0…0,1 [1].

Однако для несущих конструкций характерна ситуация, при которой минимальное напряжение цикла, связанное с нагрузками от собственного веса конструкции и оборудо­вания, весьма стабильно и вычисляется достаточно точно.

Рис. 11.4. Схемы для оцен­ки влияния изменения коэф­фициента асимметрии при переходе от рабочего цик­ла к предельному

С другой стороны, размах напря­жений (Δσ = σ_mах - σ_mах), обус­ловленный действием веса гру­за и динамическими нагрузками, имеет большой разброс. Таким образом, если считать, что превы­шение действующих напряже­ний происходит только из-за уве­личения размаха напряжений, то значения коэффициента асим­метрии рабочего цикла и пре­дельного получаются разными. В этом случае точка, характеризу­ющая эксплуатационный цикл, пе­реместится из А в позицию В и за­пас будет равен ОВ/ОА < ОD/ОА (рис.11.4). Влияние этого фактора впервые было проанализировано проф. М. М. Гохбергом [8].

Рассмотрим влияние данного фактора в терминах СРПС, как более универсальной системы. Положим, что рабочий цикл имеет коэффициент асимметрии R (рис. 11.4, точки А и А1). Будем считать, что при возможном повышении максимального напряжения цикла на Δσ (линия АВ) мини­мальные напряжения остаются постоянными (линия А1В1). Котангенс угла наклона линии АВ равен ctgβ = Δσ_m/Δσ = (Δσ + Δσ_min (=0)) / 2Δσ = 0,5, т. е. она параллельна линии, соответствующей R = 0.

Предположим, что размах напряжений (Δσ) увеличился в υ_Δ раз, при этом максимальное напряжение цикла (σ_max) возросло в υ раз. Для исходного и нового циклов σ_min = Rσ_max= υR₁σ_max. Следовательно, значение коэффициента асимметрии нового цикла равно R₁ = R / υ.

Из уравнения υσ_max = σ_min + υ_ΔΔσ = Rσ_max + υ_Δ(1 - R)σ_max найдем

υ_Δ =(υ - R)/(1 - R);

R₁ =(1+(1/R-1)υ_Δ)^-1 (11.5)

Изменение значения коэффициента асимметрии цикла нагружения приводит к тому, что в расчете вместо предела выносливости σ_RK (рис. 11.4, точка D) следует использо­вать предел выносливости, найденный при коэффициенте асимметрии R₁ (точка В), т. е.

.

Снижение расчетного предела выносливости можно учесть коэффициентом который является дополнительным коэффициентом условий работы по СРПС при циклическом нагружении. Используя выражения (11.4) и (11.5), в запас надежности при = 0 определим этот коэффициент:

.

В области R < 0 менее благоприятным является про­порциональное повышение минимальных и максимальных напряжений цикла, поэтому здесь изменение асимметрии цикла учитывать не следует. Таким образом, расчетный предел выносливости с учетом возможного изменения ко­эффициента асимметрии цикла при эксплуатационном нагружении следует находить как .

Считая, что возрастание размаха напряжений сверх рас­четного значения может произойти на 10-20 % (т. е. υ_Δ = 1,1…1,2), можно принять упрощенное выражение для :

(11.6)

Следует отметить, что данный коэффициент учитывает не возможное превышение эксплуатационных напряжений над расчетными, а снижение предела выносливости, возни­кающее в результате изменения коэффициента асиммет­рии цикла при непропорциональном возрастании перемен­ной и постоянной составляющих цикла нагружения.