Постановка задачи линейного программирования

Значительная часть задач принятия решения – это задачи распределения ресурсов между объектами.

Пусть имеется т видов ресурсов, каждый i -й ресурс в количестве b _i (i=1...m). Эти ресурсы нужно использовать для п видов продукции. Для выпуска единицы j -го вида продукции необходимо a_{i j} единиц i -го вида ресурса. Требуется определить, сколько какого вида продукции следует произвести, чтобы такой выпуск был наилучшим для принятого критерия оптимальности.

В реальных задачах суммарное количество основных x_j (j = 1...n) и дополнительных y_i (i = 1...m) переменных всегда больше, чем число зависимостей b _i, поэтому система (1) имеет бесчисленное множество решений. Из этого бесчисленного множества следует выбрать одно – оптимальное, соответствующее критерию – цели решения задачи.

Цель задачи распределения ресурсов устанавливается какой-либо одной из двух взаимоисключающих постановок:

1) при заданных ресурсах максимизировать получаемый результат;

2) при заданном результате минимизировать потребные ресурсы.

Первая постановка аналитически запишется:

(1)

где x_j – количество выпускаемой продукции j -го вида – искомая переменная
(j =1... n); п – количество наименований продукции; c_j – величина, показывающая, какой вклад в результат даёт единица продукции j -го вида; b_i – заданное количество ресурса i- го вида (i = 1...m); т – количество наименований ресурсов; a_ij – норма расхода ресурса, т.е. какое количество ресурса i- го вида потребляется на производство единицы j- го вида продукции.

Решение задачи (1) даёт нахождение таких значений x_j, которые обеспечивают при заданных ресурсах получение максимального результата.

Вторая постановка задачи будет иметь вид:

(2)

где С – минимально допустимое значение потребного результата.

Задачи (1) и (2), в которые переменные x_j входят в первой степени, т.е. в виде линейных зависимостей, называют задачами ЛП.

Каждая задача ЛП содержит ЦФ (1.1), (2.1), ограничения (1.2), (2.2), граничные условия (1.3),(2.3). Ограничения могут включать зависимости как для ресурсов (b_j), так и для экономических показателей (С).

Для решения задач ЛП используют графический и аналитический методы.