Методы вычисления непосредственных интегралов

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Данный метод эквивалентен методу замены переменной

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Если m = 2 k + 1, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.

Если n = 2 k + 1, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

В частности, с помощью n -кратного применения этой формулы находится интеграл

где P_{n + 1}(x) — многочлен (n + 1)-ой степени.

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где A_ij,α _lt,β _lt — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.