Гривень 6 страница

З якою періодичністю слід відновлювати виробництво та яким має бути обсяг однієї партії виготовлення продукції, щоб загальні витрати підприємства як внаслідок дефіциту продукції, так і в зв’язку з періодичним відновленням виробничого процесу, були мінімальними?

Пропонуємо:

1. Побудувати графік циклу зміни обсягу "запасів" продукції.

2. Побудувати оптимізаційну економіко–математичну модель цієї однопродуктової задачі управління "запасами".

3. Побудувати функцію Лагранжа та записати через систему рівнянь умову оптимальності для задачі управління "запасами" за відсутності умов для зберігання виготовленої продукції.

4. Вивести з системи рівнянь (завдання 3) підсумкові формули обчислення оптимальних параметрів циклу управління запасами для задачі, розрахованої на випадок відсутності умов для зберігання виготовленої продукції.

5. Отримати підсумкові формули обчислення оптимальних параметрів циклу управління "запасами" за відсутності умов для зберігання продукції з формул (9.8) – (9.12) розв’язку базової однопродуктової задачі управління запасами.

6. Використовуючи як підсумкові формули, так і інструмент пошуку рішення, різними способами знайти оптимальну стратегію управління виробництвом та "запасами" меблевих гарнітурів "Соната" (дивись приклад у підрозділі 9.3) в ситуації, коли меблева фабрика втратить можливість зберігати виготовлені меблеві гарнітури.

РОЗДІЛ 11 ОПТИМІЗАЦІЯ РІШЕНЬ ЩОДО УПРАВЛІННЯ
БАГАТОПРОДУКТОВИМИ ЗАПАСАМИ

Багатопродуктові задачі оптимального управління запасами з’являються у випадках, коли, наприклад, на складі обмеженої місткості зберігатиметься різна продукція. Опрацюємо відповідну задачу за умов, що дефіцит заборонено, а поставки продукції на склад з метою поповнення запасів здійснюються миттєво.

11.1. Економіко–математична модель задачі

11.2. Аналітичне розв’язування задачі оптимального управління багатопродуктовими запасами

11.3. Розв’язування задачі оптимального управління багатопродуктовими запасами на комп’ютері

11.4. Завдання для самостійного опрацювання

11.1. Економіко–математична модель задачі

Уведемо позначення, які потрібні для побудови економіко–математичної моделі задачі оптимального управління багатопродуктовими запасами за умов заборони дефіциту продукції, що зберігається, та миттєвого поповнення запасів:

– кількість видів продукції; – номер окремого виду продукції ();

– інтенсивність попиту на -ту продукцію;

– витрати на зберігання одиниці -ої продукції впродовж одиниці часу;

– витрати, пов’язані з організацією поповнення запасів однією партією продукції -го виду;

– площа, необхідна для зберігання одиниці -ої продукції;

– площа складу.

Усі зазначені параметри є вихідними та вважаються відомими. Невідомими в нашій багатопродуктовій задачі оптимального управління запасами виступають:

– періодичність поповнення запасів -ої продукції;

– розмір однієї партії поставок -ої продукції на склад;

– середні за одиницю часу загальні витрати, пов’язані зі зберіганням та поповненням запасів -ої продукції;

– середні за одиницю часу загальні витрати в системі управління багатопродуктовими запасами – цільовий параметр, який підлягає мінімізації.

За наведених позначень економіко–математична модель оптимізаційної багатопродуктової задачі управління запасами набирає вигляду:

(11.1)

(11.2)

(11.3)

(11.4)

(11.5)

Цільова функція (11.1) відбиває вимогу мінімізувати загальні середні за одиницю часу витрати в системі управління багатопродуктовими запасами.

Рівняння (11.2) визначають середні за одиницю часу витрати, пов’язані за зберіганням та поповненням запасів окремо по кожній -й продукції.

Рівняння (11.3) показують, що розмір партії поповнення запасів -ї продукції повинен відповідати загальному попиту за весь проміжок часу між суміжними поставками цієї продукції.

Нерівність (11.4) враховує місткість складу – вона має бути достатньою для зберігання продукції навіть у випадку, якщо поставки всіх видів продукції на склад відбудуться одночасно.

Нерівності (11.5), разом з рівняннями (11.3), забезпечують відповідність значень керованих параметрів, які визначають періодичність та обсяги поставок продукції на склад, їхньому змісту – вони повинні бути додатними.

11.2. Аналітичне розв’язування задачі оптимального управління багатопродуктовими запасами

Математично задача (11.1) – (11.5) являє собою задачу нелінійного програмування з обмеженнями–рівняннями та обмеженнями–нерівностями. Для аналітичного знаходження її розв’язку задачу доцільно дещо спростити.

Вилучимо допоміжні змінні , , підставивши в цільову функцію замість них відповідні вирази з рівнянь (11.2). Одержимо задачу:

(11.6)

Знайдемо розв’язок задачі (11.6) аналітичним методом.

Побудуємо для задачі (11.6) узагальнену функцію Лагранжа (у лівій частині через , і буде позначено вектори відповідних змінних):

,

де лагранжів множник можна інтерпретувати як штраф у випадку, коли максимально можливий розмір запасів перевищуватиме місткість складу.

Далі скористаємося теоремою Куна–Таккера та запишемо умови оптимальності для задачі (11.6):

(11.7)

(11.8)

(11.9)

(11.10)

(11.11)

З рівнянь (11.7) – (11.9) послідовно знаходимо:

(11.12)

(11.13)

(11.14)

Отже, для визначення розв’язку задачі (11.6) лишається знайти оптимальне значення множника Лагранжа . Це можна зробити, залучаючи умови (11.11) та (11.10), у такий спосіб.

Спочатку покладемо . Тоді , , що повністю відповідає розв’язкам (10.21) відповідних однопродуктових задач. Якщо ці обсяги поповнення запасів задовольняють обмеження щодо місткості складу, багатопродуктову задачу оптимального управління запасами розв’язано.

У супротивному випадку, коли ці значення обсягів поповнення запасів не відповідають нерівності (11.10), їх потрібно зменшити, збільшивши значення множника /дивись (11.14)/. Тобто оптимальне значення множника Лагранжа буде додатним: . З умови (11.11) випливає, що це значення має задовольняти рівняння:

(11.15)

Таким чином, аналітичний розв’язок задачі оптимального управління багатопродуктовими запасами визначається рівняннями (11.13) – (11.15).

Наближений корінь нелінійного рівняння (11.15) визначаємо або табулюванням за кількома додатними значеннями , або ж за допомогою інструменту " Подбор параметра " Excel.

11.3. Розв’язування задачі оптимального управління
багатопродуктовими запасами на комп’ютері

З використанням обчислювальної техніки існує принаймні два способи розв’язування задачі про оптимальне управління багатопродуктовими запасами. По–перше, це використання інструменту " Подбор параметра " для розв’язування рівняння (11.15), якщо така потреба виникатиме. Другий спосіб полягає у зверненні до пакету " Поиск решения " та його застосуванні безпосередньо до задачі (11.1) – (11.5). Опрацюємо ці способи на конкретному прикладі, вихідні дані до якого наведено у таблиці 11.1.

Таблиця 11.1

Вихідні дані до задачі оптимального управління
багатопродуктовими запасами

Показник	Позначення	Значення
Номер виду продукції
Інтенсивність попиту, одиниць продукції за одну добу
Витрати на зберігання одиниці продукції впродовж однієї доби, гривень		0,15	0,4	0,25	0,07
Витрати на організацію поповнення запасів однією партією продукції, гривень
Площа, потрібна для зберігання одиниці продукції, кв. м		0,1	0,7	0,3	1,2

Потрібно визначити, з якою періодичністю , , доцільно поповнювати запаси кожного виду продукції, та якими мають бути розміри , відповідних партій поповнення запасів, щоб загальні середньодобові витрати на зберігання продукції та поповнення запасів були мінімальними, якщо площа складу дорівнює 4500 квадратних метрів ().

Відкриємо нову робочу книгу Excel – "B-Pr-Zap.xls" – та на першому аркуші зафіксуємо усі вихідні дані про задачу (рис. 11.1).

Рис. 11.1. Робочий аркуш книги "B-Pr-Zap.xls" з вихідними даними
до задачі про оптимальне управління багатопродуктовими запасами

Далі зробимо форму для таблиці про оптимальні параметри стратегії управління багатопродуктовими запасами. Ця таблиця повинна містити інформацію про значення показників періодичності та обсягів поповнення запасів кожного з видів продукції, середньодобових витрат на управління запасами (по кожній продукції окремо та разом), а також про максимально необхідну для зберігання запасів площу сховища, якщо раптом всі поставки відбудуться одночасно. Для розрахунків буде використано формули (11.13), (11.14), (11.2), (11.1), а також суму у правій частині нерівності (11.4).

Потрібне для цих обчислень значення множника будемо враховувати у клітинці F22. Все це показано на рис. 11.2. При записі формул, з метою спрощення, замість залежностей (11.13) було використано рівносильні залежності (11.3).

Рис. 11.2. Підготовка таблиці про оптимальні параметри стратегії
управління багатопродуктовими запасами

Після запису усіх потрібних розрахункових формул, як це показано на рис. 11.2, ми одразу ж автоматично отримаємо розв’язки усіх однопродуктових задач оптимального управління запасами (рис. 11.3), оскільки порожня клітинка F22 відповідає нульовому значенню множника .

Рис. 11.3. Результати планування без обмеження щодо площі сховища

Бачимо, що наявної площі сховища (4500 кв. м) цілком вистачає, щоб зберігати усю продукцію навіть за умов одночасного надходження на склад усіх поставок (максимальна потреба у площі становить менше 725 м², що показано у клітинці F20). І навіть округлювання у більшу сторону до цілих значень усіх тривалостей циклів поставок (відповідно, до 14, 13, 11 і 20 днів) та збільшення обсягів партій поповнення запасів до 210, 65, 330 і 480 одиниць відповідної продукції (що практично не впливає на загальні середньодобові витрати) збільшить максимальні потреби у площі сховища до 741.5 м², що теж не перевищує площі сховища 4500 м².

Тепер розглянемо складніший випадок – коли площі сховища буде недостатньо для зберігання усієї продукції у випадку, якщо вона надійде до сховища одночасно.

Поміняємо умову задачі щодо площі складу. Припустимо, що площа складу дорівнює 500 м² ().

Занесемо на другий аркуш нашої книги "B-Pr-Zap.xls" копію Листа 1 та вкажемо у клітинці F10 нове значення площі складу: 500.

На панелі інструментів Excel оберемо " Сервис ", в меню якого скористаємося інструментом " Подбор параметра…".

У діалоговому вікні інструменту зазначимо, що в клітинці F20 слід встановити значення 500, змінюючи при цьому значення параметра , яке знаходиться у клітинці F22 (рис. 11.4).

Рис. 11.4. Налагодження діалогового вікна підбору параметра
для визначення оптимального значення множника

Натиснемо у діалоговому вікні ОК та через мить побачимо повідомлення про результати обчислень (рис. 11.5).

Рис. 11.5. Результати пошуку оптимального значення
множника Лагранжа з використанням інструменту підбору параметра

Натиснемо у діалоговому вікні " Результат подбора параметра " ОК та прочитаємо на екрані інформацію про оптимальну стратегію управління багатопродуктовими запасами (рис. 11.6). Лишається заокруглити значення тривалостей періодів поповнення запасів, але зараз слід до уваги, що ці заокруглювання можуть істотно вплинути на потреби у площі складу.

Рис. 11.6. Робочий лист з результатами розв’язування багатопродуктової задачі управління запасами способом підбору параметра

Опрацюємо тепер спосіб розв’язування багатопродуктової задачі оптимального управління запасами (11.1) – (11.5) з використанням інструменту пошуку рішення. Для цього відведемо третій аркуш нашої робочої книги, на який спочатку знову повністю скопіюємо Лист 1.

Вкажемо у клітинці F10 значення площі складу: 500. Уберемо рядок 22 (множник Лагранжа зараз не потрібний). Очистимо клітинки C15:F15 (раніше там містилися формули для обчислення розмірів партій поповнення запасів через множник Лагранжа ; зараз ці значення ми вважатимемо невідомими). Щоб позбутися у клітинках C16:F16 та F18 повідомлення "#ДЕЛ/0!", занесемо у клітинки C15:F15 довільні додатні значення (наприклад, 1).

Активізуємо тепер інструмент пошуку рішення. В його діалоговому вікні вказуємо, що цільовою є клітинка F18. Оптимізаційне спрямування – до мінімуму. Змінним відповідають клітинки C15:F15. Обмеження щодо площі складу: F20<=F10 (рис. 11.7).

Рис. 11.7. Підготовка інструменту пошуку рішення до оптимізації
стратегії управління багатопродуктовими запасами

В параметрах пошуку рішення зазначаємо, що змінні мають бути невід’ємними, після чого запускаємо інструмент на виконання. Результати пошуку рішення наведені на рисунку 11.8. Спостерігаємо, що оптимальна стратегія управління багатопродуктовими запасами враховує площу складу (в клітинці F20 отримали значення 499,9999996) та вимагає щодобових витрат у розмірі 169,2174345 гривень (цільова клітинка F18).

Рис. 11.8. Робочий лист Excel з першими результатами розв’язування багатопродуктової задачі оптимального управління запасами
за допомогою інструменту пошуку рішення

Проте вважати отримані зараз перші результати оптимізації стратегії управління багатопродуктовими запасами цілком задовільними не можна. З практичних міркувань очевидно, що шукані тривалості періодів поповнення запасів та розміри партій відповідної продукції мають бути цілочисловими:

$C$14: $F$15

=

цел

Але клітинки C14:F14 раніше не були показані як змінні (рис. 11.7), тому при безпосередній спробі ввести це додаткове обмеження Ви отримаєте повідомлення про помилку.

Правильно діяти потрібно таким чином. Внесемо у діалоговому вікні пошуку рішення (воно показане на рис. 11.7) наступні зміни:

1) масив змінних клітинок оберемо таким: $C$14: $F$15;

2) додамо обмеження:

$C$14: $F$15

=

цел

3) додамо обмеження, які показують залежність між розміром партій поповнення запасів та періодичністю відповідних поповнень (оскільки раніше введені у клітинки C14:F14 формули вже сприйматися не будуть):

$C$14	=	$С$15/$С$5
$D$14	=	$D$15/$D$5
$E$14	=	$E$15/$E$5
$F$14	=	$F$15/$F$5

Далі дамо команду: " Выполнить " (залишивши в параметрах пошуку рішення прапорець у стані: "Неотрицательные переменные").

Результати обчислень показано на рис. 11.9. Переконуємося, що усі значення в клітинках C14:F15 є цілими, тобто знайдена стратегія управління запасами відповідає вимогам практичної зручності.

Рис. 11.9. Робочий лист Excel з кінцевими результатами розв’язування багатопродуктової задачі оптимального управління запасами
за допомогою інструменту пошуку рішення

Задачу оптимального управління багатопродуктовими запасами розв’язано.

11.4. Завдання для самостійного опрацювання

1. Наведіть приклади, коли задачу оптимального управління запасами потрібно розглядати саме як багатопродуктову.

2. Покажіть, що задачу знаходження оптимального значення множника Лагранжа , яке потрібне для розв’язування задачі (11.6) аналітичним методом, можна, керуючись залежностями (11.13) – (11.14), звести до оптимізаційної задачі. Побудуйте таку задачу та розв’яжіть її за допомогою інструменту пошуку рішення Excel.

3. Охарактеризуйте та графічно проілюструйте залежність оптимальних загальних середньодобових витрат на зберігання продукції та поповнення запасів від площі складу на прикладі п’ятипродуктової задачі управління запасами з вихідними даними, що наведені у таблиці 11.2.

Таблиця 11.2

Вихідні дані до задачі оптимального управління
п’ятипродуктовими запасами

Показник	Номер виду продукції
Інтенсивність попиту, одиниць продукції за одну добу
Витрати на зберігання одиниці продукції впродовж однієї доби, гривень	0,01	0,15	0,02	0,35	0,18
Витрати на організацію поповнення запасів однією партією продукції, гривень
Площа, потрібна для зберігання одиниці продукції, кв. м	0,3	0,45	0,25	1,2	0,15

ЛІТЕРАТУРА

1. Алькема В.Г. Логистика: Учебно-методическое пособие. – К.: Університет економіки та права "КРОК", 2004. – 164 с.

2. Бакаев А.А., Ермольев Ю.М., Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И. Математические методы в планировании и экономических расчетах. – К.: Наукова думка, 1968. – 224 с.

3. Бакаєв О.О., Грищенко В.І., Бажан Л.І., Бакаєв Л.О. Мікроекономічне моделювання і інформаційні технології. – К.: Наукова думка, 2003. – 182 с.

4. Бауэрсокс Д. Логистика. Интегрированная цепь поставок. – М.: Олимп-Бизнес, 2005. – 640 с.

5. Бродецкий Г.Л. Моделирование логистических систем. Оптимальные решения в условиях риска. – М.: Вершина, 2006. – 376 с.

6. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа. – М.: Наука, 1969. – 384 с.

7. Деордица Ю.С., Савченко В.Т. Компьютерные технологии в экономике и менеджменте: Учебное пособие. – Луганск: ВУГУ, 1999. – 326 с.

8. Джонсон Дж., Вуд Д., Вордлоу Д., Мерфи П. Современная логистика. – М.: Вильямс, 2002. – 624 с.

9. Долгов А. Логистический менеджмент фирмы. Концепция, методы, модели. – СПб.: Бизнес-Пресса, 2005.– 368 с.

10. Друкер П. Эффективное управление. Экономические задачи и оптимальные решения. – М.: ФАИР–ПРЕСС, 2001. – 288 с.

11. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. – М.: Наука, 1972. – 231 с.

12. Карагодова О.О., Кігель В.Р, Рожок В.Д. Дослідження операцій: Навчальний посібник. – К.: ЦУЛ, 2007. – 256 с.

13. Кігель В.Р. Елементи лінійного, цілочислового лінійного, нелінійного програмування: Навчальний посібник. – К.: ІСДО, 1995. – 400 с.

14. Крикавський Є.В. Логістичне управління: Підручник – Львів: Львівська політехніка, 2005. – 684 с.

15. Кристофидас Н. Теория графов. Алгоритмический подход. – М.: Мир, 1978. – 432 с.

16. Линдерс М.Р., Фирон Х.Е. Управление снабжением и запасами. Логистика. – СПб.: Виктория плюс, 2002. – 768 с..

17. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. – М.: Мир, 1981. – 323 с.

18. Михалевич В.С., Трубин В.А., Шор Н.З. Оптимизационные задачи производственно–транспортного планирования: Модели, методы, алгоритмы. – М.: Наука, 1986. – 264 с.

19. Окландер М. Логістика. Навчальний посібник. – К.: Зовнішня торгівля, 2005. – 234 с.

20. Рыжиков Ю.И. Управление запасами. – М.: Наука, 1969. – 344 с.

21. Сергиенко И.В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. – К.: Наукова думка, 1985. – 384 с.

22. Сток Д.Р., Дуглас М.Л. Стратегическое управление логистикой. Учебник. – М.: Инфра-М, 2005. – 797 с.

23. Таха Х. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2001. – 912 с.

24. Терехов Л.Л. Экономико–математические методы: Учебное пособие. – М.: Статистика, 1968. – 300 с.

25. Ульянченко О.В. Дослідження операцій в економіці: Підручник. – Харків: Гриф, 2002. – 580 с.

26. Уотерс Д. Логистика. Управление цепью поставок. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 503 с.

27. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. – М.: Мир, 1974. – 520 с.

28. Хэнссмен Ф. Применение математических методов в управлении производством и запасами. – М.: Прогресс, 1966. – 280 с.

29. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997. – 590 с.

Навчальний посібник

Кігель Володимир Романович,

завідувач кафедри фінансів, професор

Українського гуманітарного інституту;

професор Університету економіки та права "КРОК";

кандидат економічних наук, доцент