Теоретичні відомості. Математичний маятник (Рис.1.40) ¾ точкове тіло масою m, підвішене на нерозтяжному підвісі L

Математичний маятник (Рис.1.40) ¾ точкове тіло масою m, підвішене на нерозтяжному підвісі L, розмірами якого, порівнюючи з довжиною підвісу, можна знехтувати. Маса підвісу значно менша маси тіла m. Коливання описуються кутом відхилення тіла від положення рівноваги ¾ . Вектор задає точку прикладання сил. Коливання здійснюються в загальному випадку під дією моменту зовнішніх сил , моменту сили тяжіння та моменту сил опору , де ¾ коефіцієнт опору. Вектори моментів сил та кутового прискорення лежать на осі обертання, яка ^ площині коливання та проходить через центр обертання О.

Величину моменту сили тяжіння можна записати у вигляді . Для малих коливань j маємо sinj­» j і . За другим законом Ньютона рівняння коливань можна записати так

,

де J=mL² ¾ момент інерції точкового тіла. Вектори лежать на одній прямій, а тому, взявши напрямок кутового прискорення за додатній, векторне рівняння можна записати в алгебраїчній формі

.

В канонічному вигляді це рівняння має вигляд:

,

де ¾ коефіцієнт згасання коливань, , w₀ ¾ частота вільних незгасаючих коливань, або частота власних коливань маятника.

Таким чином, період власних коливань визначається так

. (1.40)

У цьому виразі g ¾ прискорення сили тяжіння Землі або як кажуть прискорення вільного падіння. Із закону всесвітнього тяжіння Ньютона можна показати що

, (2.40)

де G_З=6,67×10¹¹ Н×м²/кг² – гравітаційна стала, М_З=5б976×10²⁴ кг ¾ маса Землі, R_З=6,4×10⁶ м ¾ радіус Землі, L ¾ довжина підвісу маятника. Підрахунок за формулою (2) дає величину прискорення сили тяжіння рівною

g=9,8 м/с².

З формули (1) випливає, що залежність довжини маятника L від періоду коливань T можна записати так

(3.40)

Якщо покласти

, (4.40)

то вираз (3) можна лініаризувати

. (5.40)