Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 3 страница

Эту формулу можно записать и для значения разности в узле x_i:

∆^ky_i = y_k+1 – ky_k+i-1 + y_k+i-2 + … + (–1)^ky_i

4.3 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА.

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в следующем виде:

N(x) = a₀ + a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)(x – x₁)+ … + a_n(x – x₀)(x – x₁)…(x – x_n-1) (4.2)

График многочлена должен проходить через заданные узлы, т.е. N(x_i) = y_i (i=0,1,2,…n). Эти условия используем для нахождения коэффициентов многочлена; учитывая, что x_i – x_i-1=h:

N(x₀) = a₀ = y₀

N(x₁) = a₀ + a₁(x₁ – x₀) = a₀ + a₁h = y₁

N(x₂) = a₀ + a₁(x₂ – x₀) + a₂(x₂ – x₀)(x₂ – x₁) = a₀ + a₁h + 2a₂h² = y₂

.... … … … … … …

Отсюда найдем коэффициенты:

a₀ = y₀; a₁ = = ;

a₂ = = =

Аналогично можно найти и другие коэффициенты. Общая формула имеет вид:

a_k = k = 0, 1, …, n.

Подставляя эти выражегия в формулу (4.2), получаем следующий вид интерполяционного многочлена Ньютона:

N(x) = y₀ + (x – x₀) + (x – x₀) (x – x₁) + …

+ (x – x₀) (x – x₁)…(x – x_n-1) (4.3)

Конечные разности ∆^ky₀ вычисляются по формуле (4.1).

Формулу (4.3) часто записывают в другом виде. Для этого введем переменную

q = , тогда

x = x₀ + qh, = = q – 1,

= q – 2, …, = q – n + 1

Тогда формула (4.3) примет вид:

N(x) = N(x₀ + qh) = y₀ + q∆y₀ + ∆²y₀ + …+ ∆ⁿy₀ (4.4)

Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед. Оно может интерполировать данную функцию y=f(x) на всем отрезке изменения аргумента [x₀, x_n] слева направо. С точки зрения повышения точности расчетов целесообразно произвести интерполяцию этой функции в интервале аргумента [x₀, x_n] справа налево. В этом случае

q = , т.е. q<0

тогда интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

N(x) = N(x_n + qh) = y_n + q∆y_n-1 + ∆²y_n-2 + … + ∆ⁿy₀ (4.5)

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад.

Из первого полинома Ньютона (4.4) при n=1 имеем линейную интерполяцию

N(x) = y₀ + q∆y₀

При n=2 – квадратичную N(x) = y₀ + q∆y₀ + ∆²y₀.

На практике используются полиномы 1, 2 и 3 степени.

ПРИМЕР 4.2

Применяя I и II формулы интерполяционного многочлена Ньютона, вычислить в точке x = 0,1 значение функции y = f(x), заданной таблицей:

x	y	∆y	∆2y	∆3y	∆4y	∆5y
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	1,272 4,465 5,644 5,809 3,961 2,101	3,193 1,179 0,165 –1,848 –1,860	–2,014 –1,014 –2,013 –0,012	1,000 –0,999 2,001	–1,999 3,000	4,999

Процесс вычислений удобно свести в ту же таблицу. Каждая последующая конечная разность получается путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней.

При x=0,1 имеем q = = = 0,5

Проводим вычисления по формуле (4.4)

f(0,1) ≈ N(0,1) = 1,272 + 0,5 ∙ 3,193 + (–2,014) + ∙ 1,000 + + ∙ (–1,999) + ∙ 4,999 = 1,272 + 1,597 + +0,2518 + +0,06249 + 0,07809 + 0,1367 = 3,398.

Для сравнения проведем аналогичные вычисления по формуле (4.5). В этом случае:

q = = = –4,5.

Тогда

f(0,1) ≈ N(0,1) = 2,101 – 4,5 ∙ (–1,860) + ∙ (–0,012) + ∙2,001 +r w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ∙ 3,000 + ∙ 4,999 = =2,101 + 8,370 – 0,09450 + 13,13 + 7,383 – 1,231 = 3,402

Видно, что здесь происходит незначительная потеря точности.

ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАНИЕ 4

1. Вычислить значение функции с помощью первой интерполяционной формулы Ньютона при значении аргумента x^*.

2. Вычислить значение функции с помощью интерполяционной формулы Лагранжа при значении аргумента x^*, приняв n=3. Исходные числовые данные приведены в таблице 4.

ТАБЛИЦА 4

	0,1,2	3,4,5,6	7,8,9
	x	y	x*	x	y	x*	x	y	x*
0,		0,0872 0,1736 0,2588 0,3420 0,4226			0,1219 0,1736 0,2250 0,2756 0,3256			0,1564 0,2250 0,2924 0,3584 0,4226
2,		0,1045 0,2079 0,3090 0,4067 0,4226			0,1908 0,2588 0,3256 0,3907 0,4540			0,1392 0,2250 0,3090 0,3907 0,4695
4,		0,1736 0,2419 0,2424 0,3584 0,4226			0,0175 0,0872 0,1564 0,2250 0,2924			0,0349 0,1219 0,2079 0,2924 0,3746
6,		0,0523 0,1392 0,2250 0,3090 0,3907			0,0698 0,1392 0,2079 0,2756 0,3420			0,2079 0,2924 0,3746 0,4540 0,5299
8,		0,2419 0,3090 0,3746 0,4384 0,5000			0,2588 0,3256 0,3907 0,4540 0,5150			0,2756 0,3420 0,4067 0,4695 0,5299

ПРИМЕР 1.

С помощью интерполяционной формулы Ньютона вычислить в точке x^*=19 значение функции, заданной в таблице 4.

РЕШЕНИЕ. Составим таблицу конечных разностей.

i	x	y	∆y	∆2y	∆3y	∆4y
		0,2924 0,3907 0,4848 0,5736 0,6541	0,0983 0,0941 0,0888 0,0805	–0,0042 –0,0095 –0,0083	–0,0053 0,0012	0,0065

∆y0 = y1 – y0 = 0,3907 – 0,2924 = 0,0983

∆y1 = y2 – y1 = 0,4848 – 0,3907 = 0,0941

∆2y2 = ∆y1 - ∆y0 = 0,0941 – 0,0983 = –0,0042

и так далее.

По первой интерполяционной формуле Ньютона (4.4), ограничиваясь конечными разностями четвертого порядка, имеем:

N(x) = y₀ + q∆y₀ + ∆²y₀ + ∆²y₀ + ∆³y₀ + + ∆³y₀

Т.к. x^*=19, h=6 и x₀=0,2924, то q= = = 0,17

Получим:

N(0,1) = 0,2924 + 0,17 ∙ 0,0983 + ∙ (–0,0042) + ∙(–0,0053) + ∙ 0,005 = 0,309164.

Таким образом, при x_*=19 значение функции N(x^*) = 0,309164.

4.4 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА

ЛАГРАНЖА.

В случае непостоянного шага интерполирования

x_i – x_i-1 = h_i ≠ const при i=1,2,…,n

используется так называемая интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть на отрезке [a,b] даны n+1 значений аргумента x0, x1, x2, …, xn и для функции y=f(x) известны соответствующие значения f(x0)=y0, f(x1)=y1, …, f(xn)=yn Строится поленом Ln(x), имеющий в заданных узлах x0, x1,..., xn те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что Ln(xi) = yi (i=0, 1, …, n) Такой поленом имеет вид:

y=Ln(x) y=f(x) y b xn x1 x0 a x

Это и есть интерполяционная формула Лагранжа.

4.5 ЛИНЕЙНАЯ И КВАДРАТИЧНАЯ

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.

Рассмотрим два частных случая интерполяционного полинома Лагранжа.

При n=1 мы имеем две точки – (x₀,x₁), и получим из формулы (4.6) уравнение прямой y=L₁(x), проходящей через эти точки

y=L₁(x)= y₀ + y₁

При x₀=a, x₁=b получим y = y₀ + y₁

При n=2 получим уравнение параболы, проходящей через 3 точки x₀=a, x₁=b, x₂=c

L₂(x) = y₀ + y₁ + y₂ = y₀ + y₁ y₂

Пример 1 Для функции y=sinπx построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы x₀=0, x₁= , x₂= .

Решение Вычислим соответствующие значения функции y₀=0, y₁= sin = , y₂= sin =1

Применяя формулу (4.6), получим:

L₂(x) = y₀ + y₁ + y₂ = ∙ 0 + ∙ + ∙ 1 = x – 3x²

Пример 2 С помощью интерполяционной формулы Лагранжа вычислить значение функции при значении аргумента x^*=323.5, приняв n=3. В соответствии с вариантом выбрать исходные данные из таблицы 4 индивидуального задания.

i	x	y
	321,0	2,50651
	322,8	2,50893
	324,2	2,51081
	325,0	2,51188

Решение Подставим значения x^*, x_i и y_i в интерполяционную формулу Лагранжа (4.6)

L(x^*) = y₀ + y₁ + y₂ +

Получим:

L(323,5) = 2,50651 ∙ + 2,50893 ∙ + 2,51081 ∙ +2,51188∙ = –0,07996 + 1,18794 + 1,83897 – 0,43708 =2,50987

Таким образом, в точке x^*=323,5 функция f(x^*)=2,50987.

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭМПИРИЧЕСКИХ

ФОРМУЛ.

5.1 ПОДБОР ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ.

Пусть при обработке экспериментальных данных получена таблица данных

x0	x1	x2	…	xn
y0	y1	y2	…	yn

Необходимо построить зависимость y=f(x), приближенно отображающую эти данные.

Вид эмпирической формулы может быть произвольным. В этом случае предпочтение отдается наиболее простым формулам.

Более строгий выбор эмпирической формулы производится на основе анализа i-ых конечных разностей по данным таблицы. Если расстояние между узлами ∆x_i = x_i – x_i-1 = const, то:

1) при условии ∆y_i≈const следует в качестве эмпирической формулы использовать линейную зависимость

y = ax + b;

2) при ∆²y_i≈const – квадратичную

y = ax² + bx + c;

3) при ∆³y_i≈const – кубическую

y = ax³ + bx² + cx + d;

и т.д.

рассмотрим несколько методов определения параметров эмпирических формул.

5.2 МЕТОД ВЫБРАННЫХ ТОЧЕК.

Пусть получена некоторая таблица данных y=f(x). На плоскости XOY нанесем эти точки

xn φ(x) x2 x1 x0 x y

(*), а затем проведем кривую φ(x), примыкающую к этим точкам, и выберем на этой линии точки (◦). Число выбранных точек должно быть равным количеству исходных параметров. Координаты этих точек измеряются и используются для вычисления коэффициентов эмпирической зависимости.

Если используется эмпирическая зависимость

φ(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ

то для вычисления n+1 коэффициентов a_i нужно задать n+1 точку. В результате получим систему n+1 линейных уравнений

a₀+a₁x₀+a₂ +…+a_n =y0

a₀+a₁x₁+a₂ +…+a_n =y₁

… … … …

a₀+a₁x_n+a₂ +…+a_n =y_n

т.к. значения x_i и y_i (i=0,1,2,…,n) известны.

5.3 МЕТОД СРЕДНИХ.

Этот метод заключается в том, что параметры a_i эмпирической зависимости

y = φ(x_i;a₀,a₁,…,a_n)

определяются из условия равенства нулю суммы отклонений ее от табличных значений y во всех точках x_i

Поскольку из уравнения (5.1) нельзя однозначно определить n+1 коэффициент эмпирической формулы φ(x,a_i), то уравнение (5.1) путем группировки отклонений ε_i, разбивается на систему, состоящую из m+1 уравнений. Например:

Решая систему (5.2), находим неизвестные параметры a_i.

Пример. Рассмотрим торможение движущегося тела.

t,с
S,м

Считая движение равнозамедленным, найти приближенные значения скорости V₀ и ускорения a.

Решение. Согласно физическому смыслу уравнение движения имеет вид следующей эмпирической формулы:

x = At² +Bt + C

Из таблицы видно, что при t=0 x=0, следовательно, C=0, тогда:

x = At² + Bt

Воспользуемся методом средних и запишем уравнения для всех точек, кроме начальной:

ε₁+ ε₂+ ε₃+ ε₄+ ε₅=0

Путем расщепления этого уравнения запишем систему двух уравнений:

Используя выражение x = At² + Bt и табличные данные, получим:

A = –0,30; B = 39,07

Формула, дающая приближенную связь между пройденным расстоянием и времени имеет вид:

x = –0,30t² + 39,07t

Сравнивая это уравнение с уравнением

x = + V₀t,

получим:

a = 2A = –0,60 , V₀ = 39,07 .

5.4 МЕТОД СРЕДНИХ.

Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек x₀, x₁, …, x_n

Поскольку здесь параметры эмпирической формулы a₀, a₁, …, a_m выступают в роли независимых переменных функции S, то ее минимум найдем, приравнивая нулю частные производные по этим параметрам:

= 0; = 0; …; s w:ascii="Times New Roman" w:h-ansi="Times New Roman"/><wx:font wx:val="Times New Roman"/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>m</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> = 0

Это и есть система уравнений для определения коэффициентов a₀, a₁, a₂, …

Рассмотрим применение этого метода на примере эмпирической функции:

φ(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_mx^m

Тогда:

…………………………………………………………….

Приравниваем эти выражения нулю и, собирая коэффициенты a₀, a₁, …, a_m, получаем следующую систему:

Решая эту систему, получим искомые параметры эмпирической формулы. Систему можно записать в более компактном виде.

Введём обозначения:

y m:val="p"/></m:rPr><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:sz-cs w:val="24"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t> (5.3)</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Получим:

b₀₀a₀ + b₀₁a₁ + … + b_0ma_m = c₀