Приложения смешанного произведения

1. Вычисление объемов:

Пусть на векторах построен параллелепипед, тогда его объем вычисляется по формуле:

(31)

Пусть на векторах построена треугольная пирамида, тогда ее объем вычисляется по формуле:

(32)

2. Тройка векторов правая (левая) тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов положительное (отри-цательное).

3. - это условие компланарности векторов.

Пример 5. Даны точки . Проверить, лежат ли эти точки в одной плоскости.

Решение.Найдем векторы . Проверим, являются ли эти векторы компланарными, восполь-зуемся условием компланарности:

,

следовательно, векторы некомпланарны, а это значит, что точки не лежат в одной плоскости.