Периодограмма

Функции синусов и косинусов независимы (или ортогональны); поэтому можно просуммировать квадраты коэффициентов для каждой частоты, чтобы вычислить периодограмму. Более часто, значения периодограммы вычисляются как:

P_k = (синус-коэффициент_k² + косинус-коэффициент_k²) * N/2

где P_k - значения периодограммы на частоте n _k, N - общая длина ряда. Значения периодограммы можно интерпретировать как дисперсию (вариацию) данных на соответствующей частоте. Обычно значения периодограммы изображаются в зависимости от частот или периодов.

На графике периодограммы видны три четких пика. Максимальный - на частоте примерно 0.01.

Для просмотра значений всей периодограммы необходимо перейти в в закладку Дополнительно инажать кнопку Итог.

Результаты представлены в форме таблицы

Таблица 1. Результат спектрального анализа

Частота (f_k). Частота определяется как число циклов в единицу времени. В модуле Временные ряды, за единицу времени берется одно наблюдение (т.е. частота выражается, как часть цикла на одно наблюдение), последовательные частоты вычисляются как k/n (от k=0 до n/2), где n - число наблюдений ряда. Например, частота.0833 означает, что каждое наблюдение составляет.0833 от целого цикла, или что 12 наблюдений составляют один цикл (.0833*12=1). Таким образом, если ряд содержит месячные данные за несколько лет, соответствующая периодичность определяет годичный цикл.

Период (1/f_k). Величина периода есть число, обратное частоте. Таким образом, это число наблюдений в полном цикле соответствующей частоты.

Косинус-коэффициенты (a_k). Косинус-коэффициенты - это коэффициенты регрессии; они показывают степень корреляции функций косинусов с данными на соответствующих частотах.

Синус-коэффициенты (b_k). Синус-коэффициенты интерпретируются аналогично косинус-коэффициентам (см. предыдущий абзац).

Значения периодограммы. Значения периодограммы вычисляются как суммы квадратов коэффициентов при синусах и косинусах для каждой частоты (n/2 раза). Значения периодограммы - дисперсия (сумма квадратов) данных соответствующей частоты или периода.

Оценки спектральной плотности. Оценки спектральной плотности вычисляются путем сглаживания значений периодограммы и выбираются в разделе Окна данных для оценок спектральлной плотности на вкладке Дополнительно диалогового окна Результаты одномерного (спектрального) анализа Фурье. Сглаживая периодограмму, можно определить основные частотные области (или спектральные плотности), которые вносят значительный вклад в циклическое поведение ряда. Заметим, что веса для сглаживания всегда нормируются, так что их сумма равна 1.0. Также в начале и в конце ряда сглаживание производится с помощью симметричного относительно центра окна добавления данных.

Веса. Этот столбец покажет все веса, используемые в окне сглаживания, для получения оценок спектральной плотности (см. выше). Различные сглаживающие окна описаны ниже (Окна данных для оценок спектральной плотности). Заметим, что веса нормируются, так чтобы их сумма была равна 1.

Обычно для вычисления оценок спектральной плотности периодограмму сглаживают, чтобы убрать случайные колебания. Вид взвешенного скользящего среднего и ширина окна сглаживания выбирается в окне Спектральные окна, которое находится в закладке Дополнительно. Для рассматриваемого примера установим 5-точечное окно Хэмминга (Окно Хэмминга - для каждой частоты веса для взвешенного скользящего среднего значений периодограммы определяются как

)

, после чего нажмем кнопку Спектральная плотность при включенной закладке Просмотр и график.

Рис.5. Спектральная плотность

Для просмотра гистограммы спектральной плотности необходимо зайти в результаты спектрального анализа и на плотн. Щелкнуть правой кнопкой, затем выбрать графики боковых данных---гистограмма: по столбцам

Рис. 6 гистограмма значений спектральной плотности

4.2Спектральный анализ динамики кросс-курса EUR/USD с применением экспоненциального сглаживания

Преобразуем наши исходные данные, проведем простое экспоненциальное сглаживание.

Анализ ---углубленные методы анализа ---временные ряды и прогнозирование ---

В появившемся окне анализ временных рядов нажать – ОК(преобразования, авто- и кросскорреляции, графики)

Рис 1. окно преобразование переменных

В закладке сглаживание выберем простое экспоненциальное сглаживание при α=0,1

Простое экспоненциальное сглаживание. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса. Точная формула простого экспоненциального сглаживания следующая:

S_t = a*X_t+(1-a)*S_t-1

где S_t - это значение преобразованного ряда в момент t, S_t-1 - значение преобразованного ряда в момент t-1, X_t - значение преобразованного ряда в момент t, и a (альфа) - константа (0<a<1). Очевидно, результат зависит от параметра a. Если a равно 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если a равно 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения a между 0, 1 дают промежуточные результаты.

Рис 2. График сглаженной переменной

Далее проведем спектральный анализ

Нажимаем отмену в окне преобразование переменной

Далее в окне анализ временных рядов нажать – Фурье(спектральный) анализ

Рис 3.Диалоговое окно спектрального анализа

Далее нажать OK (Одномерный анализ Фурье) для вызова диалогового окна результаты спектрального ряда Фурье.

Рис.4 Окно результатов спектрального анализа временного ряда

В верхней части диалогового окна показывает некоторые итоговые статистики ряда. Он также показывает пять наибольших пиков периодограммы (по частоте). Наибольших три пика на частотах 0.0034, 0.0068 и 0.0137. Эта информация часто полезна при анализе очень больших рядов (например, с более чем 100,000 наблюдениями), которые непросто оказать на одном графике. В этом случае, однако, легко увидеть значения периодограммы; щелкнув кнопку Периодограмма в разделе Периодограмма и графики спектральной плотности.

Рис.5 Периодограмма ряда

На графике периодограммы видны два четких пика. Максимальный - на частоте примерно 0.003.

нажмем кнопку Спектральная плотность при включенной закладке Просмотр и график.

Рис.6 Спектральная плотность

Рис. 7 гистограмма значений спектральной плотности

Рис 8 Попадание в промежуток +/- 3 сигма.

Выводы

В данной курсовой работе я провела спектральный анализ динамики курса евро/доллар 5 ноября 2008 г по 28 августа 2009 г и могу сделать вывод о том, что периодичность динамики курса данной пары отсутствует в этом периоде.

В курсовой работе рассмотрен только один метод исследования исходных данных – спектральный анализ. Естественно необходимо продолжать исследовать данные, применяя другие методы анализа.

Евро и доллар основные мировые валюты в данный момент и необходимость прогноза и отслеживания динамики их изменения очень важно как для стран, которые используют эти валюты, так и для мировой экономики в целом. К примеру, эксперты ИК "Грандис Капитал" Денис Барабанов и Андрей Толстоусов пишут: “ Сообщение о росте нефтезапасов может привести к негативной динамике на торгах в России. Нас несколько настораживает неспособность евро закрепиться выше отметки $1,50. Потенциал дальнейшего ослабления доллара довольно ограничен, что может в среднесрочном периоде негативно сказаться на американском рынке акций”