Определение вида закона распределения

При определении закона распределения отказов рекомендуется аппроксимировать экспериментальные данные в указанной последовательности:

1) Подготовка опытных данных.

2 ) Определяется вид наиболее подходящего для аппроксимации экспериментальных оценок закона распределения (графически или аналитическим способом).

3) Проверка допустимости предполагаемого закона распределения отказов, используя определенные критерии согласия (Колмогорова, Пирсона и др.).

Вид закона распределения может определятся графическим или аналитическим способом.

Если предполагается определение закона графическим путём, заполняется следующая таблица:

Таблица исходных данных для определения графическим способом закона распределения

Значение в порядке возрастания членов вер. ряда	, значение члена вариац. ряда (наработка до отказа)	, число наблюд. отказов i-го интервала времени, ч.	, накопленное число отказов	, частота отказов	Оценка безотказной работы ,

- общее число отказов.

Последний столбец таблицы – в результате получен следующий ряд времени восстановления в минутах.

Имея данные из таблицы и координатные сетки для раз­личных законов распределения по виду кривой вероятности безотказной работы выбирается наиболее подходящий закон распределения.

Координатные сетки имеют вид:

Если вид закона оценивается аналитическим способом, то используют следующюю таблицу:

Интервал времени	Количество отказов в интервале времени	Вероятность безотказной работы	Частота отказов	Интенсивность отказов

N₀ – число образцов первоначально установленных на испытание.

По данным таблицы строятся гистограммы для количественных характеристик надёжности ( или или ) и аппроксимируются кривой, по виду которой можно установить ориентировочно закон распределения отказов путём сравнения с соответствующими теоретическими кривыми.

Проверка допустимости принятого закона распределения отказов осуществляется по критериям согласия. На основании критерия согласия Колмогорова экспериментальные распределение согласуется с выбранным теоретически, если выполняется условие

D - наибольшее отклонение теоретической кривой от экспери­ментальной;

k - общее количество экспериментальных точек.

После установления вида распределения приступают к определению его параметров.

Законы распределения бывают однопараметрическими и многопараметрическими.

Рассмотрим методы оценки параметров различных законов распределения.

Экспоненциальный закон распределения.

Экспоненциальное распределение характерно для внезапных от­казов элементов и систем.

Характерно, что при этом законе (интенсивность отказов), вспомнив, что

Вероятность безотказной работы

Плотность вероятности

имеем

Очевидно, что этот закон однопараметрический с параметром λ.

Оценки параметра λ могут быть получены по формулам, со­ответствующим планам испытаний.

Трехбуквенное обозначение плана испытаний расшифровывается следующим образом:

1-я буква П- объем выборки;

2-я буква Б - без восстановления выборки;

В - с восстановлением выборки;

3-я буква - признак окончания испытаний.

n – испытания до отказа всех элементов;

t₀ – окончание испытания через заданное время;

d – окончание испытания после появления установленного числа отказов.

Так же приняты обозначения

T_d – время от начала испытания до i -го отказа;

t_∑ – суммарное время наработки.

Таблица квантилей χ – квадрат распределения.

№ п/п	План испытаний	Суммарная наработка t∑	Оценка интенсивности отказов	Нижняя граница интенсивности отказов	Верхняя граница интенсивности отказов
	nБn		n/ t∑
	nБ t0, d≠0		d/ t∑
	nБ t0, d=0	n t0	-
	nБd		(d-1)/ t∑
	nВ t0	n t0	d/ t∑
	nВd	n td	(d-1)/ t∑

При использовании таблицы квантилей χ -квадрат распределения аргументами являются:

1) вероятность Р = 1-α₁ или Р = α₂, α₁ и α₂ – доверительные границы значений вероятности.

2)число степеней свободы к, к = 2n или к = 2d или к = 2d + 2 в зависимости от плана.

Коэффициент r_о так жевыбирается по таблицам, аргументом при этом является α(α=1,0;0,999;0,990;0,975;0,950;0,900;0,800)

Значение вероятности α = α₁ + α₂ – 1.

Итак, зная значения λ_в и λ_н можно определить

ТН и ТВ – доверительные границы средней наработки до отказа.

При планировании объема испытаний для случая экспоненциального закона распределения времени безотказной работы, необходимо оп­ределить сколько экземпляров исколько времени нужно испытывать, чтобы получить из опытов интенсивность отказов с ошибкой не превосходящей заданную.

Если заданная предельная ошибка выражена в процентах и равна δ, то можно записать

Тогда для плана [ nБn ]

Если к и α₁ заданы, то мы имеем уравнение с 1-м неиз­вестным n.

Решение находится пос­редством таблиц, т.е. определяем объём выборки.

Усечённое нормальное распределение.

Нормальный закон распределения наиболее часто использу­ется для оценки надежности при постоянном отказе.

Плотность вероятности нормального распределения задана уравнением

Т и σ - параметры закона (закон двухпараметрический).

Т - средняя наработка на отказ

σ - среднеквадратическое отклонение времени безотказной работы.

Так как при нормальном распределении случайная величи­на может принимать значения - ∞ до +∞, а время безотказной работы может быть только положительным, то нужно рассматривать усеченное нормальное распределение с плотностью

где с - нормирующий множитель, который определяется из выражения

и равен

где - табулированная интегральная функция нормального распределения;

- нормированная функция Лапласа.

Средняя наработка до отказа и параметр Т₁ усеченного нормального распределения связаны зависимостью

При коэффициент и усеченное нормальное распределение достаточно точно аппроксимируется обычным нормальным законом.

При испытании выборки объемом n изделий с наработкой t₁, t₂, … t_n параметры T и σ оцениваются из формулы

Доверительные границы средней наработки до отказа опре­деляются по уравнениям

где - квантиль распределения Стьюдента для вероятности α или уровня значимости β = 1 – α и числа степеней свободы f =n – 1.

В случав двухстороннего определения доверительных границ (вспомнив, что α = α₁ + α₂ – 1)

α₁ = α₂ =(α + 1)/2, при этом уровни значимости β₁ = β₂ = (1 – α)/2.

Для разных партий величина Sn =[S] будет различной.

Рассматривая Sn как случайную величину с нормальным распре­делением мочено указать доверительные интервалы для равен­ства σ= Sn.

t - коэффициент доверительной вероятности, определяемый для распределения Стьюдента;

σ_Sn – среднеквадратичное отклонение величины Sn.

σ_Sn приближенно определяют из формулы

Доверительные границы среднеквадратичного отклонения определя­ются как:

где x²(1 – β/2)(n-1) - квантиль;

x² - квадрат распределения при вероятности P =1 – β/2 и числе сте­пеней свободы k=n-1;

x²(β/2)(n-1) - то же для вероятности P = β/2.

Значения x²(Р)(k) находятся по таблице.

Нижняя доверительная граница для вероятности безотказной рабо­ты P_H(t) может быть приближенно найдена по формуле

где - оценка вероятности безотказной работы;

- квантиль нормального распределения;

- оценка стандартного отклонения оценки .

Величина определяется по формуле

где Ф₀(Z) – нормальная функция Лапласа(по таблицам).

Величина - определяется по таблицам при вероятности α.

Величина определяется из выражения

где

Часто при оценке надежности требуется определить границы ин­тервала, в котором будет находится нормально распределённая случайная величина с заданной вероятностью Р.

Границы Y_Н и Y_В и интервалы часто называют толерантными (допустимыми) пределами.

Толерантные пределы запишутся следующим образом:

верхний предел [ -∞, +kS ];

нижний предел [ -kS,+∞ ];

двусторонний интервал [ –kS, +kS ];

где - выборочное среднее случайной величины;

S – оценка стандартного отклонения.

Так как толерантные пределы определяются на основании выборочных данных и S то они устанавливаются с вероят­ностью α.

Константа k являющаяся функцией

a) объёма выборки n;

б) вероятности Р;

в) доверительной вероятности α

приближенно выражается функцией

где Z_P и u_α – определяются по таблицам для р = Р и р = α соответственно.

Объем испытаний для определения Т с ошибкой не более ε ча­сов с доверительной вероятностью α приближенно должен быть получен при помощи уравнения

где Z_P - квантиль нормального распределения, определяемый для вероятности р = α,

σ₀ - ориентировочное значение σ.