III. Мішаний добуток

1. Поняття мішаного добутку

Означення 1. Мішаним добутком трьох векторів , , називається скалярний добуток двох векторів векторного добутку і вектора : .

2. Геометричні та алгебраїчні властивості.

Теорема 1 (про геометричний зміст мішаного добутку). Мішаний добуток векторів , , дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , , зведених до спільного початку, зі знаком (+), якщо трійка векторів , , – права, і зі знаком (-), якщо вона ліва.

Доведення (навести доведення).

З цієї теореми можна отримати наслідок.

Наслідок. Для того щоб три вектори були компланарними необхідно і достатньо, щоб їх мішаний добуток дорівнював нулю.

Наслідком теореми 1 є також така алгебраїчна властивість

(Навести доведення цієї властивості).

Оскільки з доведеної рівності виходить, що квадратні дужки можна поставити будь-як, то домовились позначати мішаний добуток так .

Що стосується інших алгебраїчних властивостей, то є наслідками скалярного і векторного добутку.

Наприклад, можна довести, що

(Навести доведення)

3. Вираз мішаного добутку через координати векторів.

Нехай в ортонормованому базисі вектори мають такі розкладання:

.

Треба знайти вираз через координати векторів.

Користуючись властивостями скалярного і мішаного добутків, можна довести таку формулу: